Fórmula do desconto composto (por fora)No desconto composto comercial, o desconto de cada período é obtido aplicando a taxa de desconto d sobre o valor existente no início daquele período, e não sempre sobre o valor nominal. Usaremos a mesma notação do desconto simples:D: valor do descontoN: valor nominal do títuloVd: valor líquido (valor atual) do títulod: taxa de descontot: número de períodos de descontoVamos descontar o título período a período, a partir do vencimento:a) No 1º período de desconto (t = 1):valor no início do período = Ndesconto do período = N · dvalor no final do período = N - N · d = N · (1 - d)b) No 2º período de desconto (t = 2):valor no início do período = N · (1 - d)desconto do período = N · (1 - d) · dvalor no final do período = N · (1 - d) - N · (1 - d) · d = N · (1 - d) · (1 - d)e, portanto:\[ V_d = N \cdot (1 - d)^{2} \]c) De forma análoga, o valor líquido após o 3º período de desconto é:\[ V_d = N \cdot (1 - d)^{3} \]d) E, depois de t períodos de desconto:\[ V_d = N \cdot (1 - d)^{t} \]\[ D = N - V_d \]ExemplosUm título de $ 10.000,00, com 60 dias para o vencimento, é descontado no regime de juros compostos, com uma taxa de desconto “por fora” de 1,2% ao mês. Calcule o valor presente do título e o valor do desconto composto, em $.Como a taxa é mensal, 60 dias correspondem a t = 2 meses:\[ t = 2;\ d = 1{,}2\% \text{ a.m.};\ N = 10.000;\ V_d = ?;\ D = ? \]\[ V_d = N \cdot (1 - d)^{t} = 10.000 \cdot (1 - 0{,}012)^{2} = 10.000 \cdot 0{,}976144 = 9.761{,}44 \]\[ D = N - V_d = 10.000 - 9.761{,}44 = 238{,}56 \]Com desconto comercial simples, à mesma taxa, o desconto seria 10.000 · 0,012 · 2 = 240,00: no desconto composto ele é um pouco menor, porque a taxa do segundo mês incide sobre um valor já descontado.Um título de R$ 20.000 é descontado 3 meses antes do vencimento com desconto composto por fora de 2% a.m. Qual o valor líquido?Gabarito: R$ 18.823,84 — V = 20.000 · (1 - 0,02)³ = 20.000 · 0,941192 = 18.823,84. R$ 18.800 é o desconto comercial simples (20.000 · (1 - 0,06)); R$ 18.846,45 é o desconto racional composto, 20.000 / 1,02³.Valor atual e valor nominal em juros compostos (desconto racional)O valor nominal (N) é o valor do compromisso na data do vencimento. O valor atual é o valor presente que, aplicado a juros compostos desde hoje até o vencimento, produz um montante igual ao nominal. Esse cálculo é o desconto racional composto, ou desconto "por dentro". Usando a mesma letra Vd para o valor atual:\[ V_d \cdot (1 + i)^{t} = N \]\[ V_d = \frac{N}{(1 + i)^{t}} \]Para que o desconto com a taxa de desconto d e o desconto com a taxa de juros i deem o mesmo valor atual:\[ V_d = \frac{N}{(1 + i)^{t}} = N \cdot (1 - d)^{t} \]\[ \frac{1}{(1 + i)^{t}} = (1 - d)^{t} \]\[ \frac{1}{1 + i} = 1 - d \]\[ d = 1 - \frac{1}{1 + i} = \frac{i}{1 + i} \]ou, isolando a taxa de juros:\[ i = \frac{d}{1 - d} \]Diferentemente do desconto simples, essa relação não depende do prazo t.ExemplosUma pessoa tem uma dívida de R$ 10.000,00 que vence daqui a três meses. Qual o seu valor atual hoje, considerando uma taxa de juros de 1,5% a.m.?\[ V_d = \frac{N}{(1 + i)^{t}} = \frac{10.000}{(1{,}015)^{3}} = 9.563{,}17 \]Um banco comercial realiza suas operações de crédito com uma taxa de juros de 6,00% ao semestre, mas os juros são pagos antecipadamente, na liberação dos recursos. Assim, para cada $ 1.000,00 de empréstimo, a ser liquidado em seis meses, o banco libera $ 940,00. Calcule a taxa efetiva mensal cobrada nessas operações, no regime de juros compostos.Os juros cobrados antecipadamente funcionam como uma taxa de desconto de 6% no semestre:\[ d = 6\% \text{ a.s.} \]\[ 0{,}06 = 1 - \frac{1}{1 + i} \]\[ \frac{1}{1 + i} = 0{,}94 \]\[ 0{,}94 + 0{,}94 \cdot i = 1 \]\[ 0{,}94 \cdot i = 0{,}06 \]\[ i_{\text{semestral}} = \frac{0{,}06}{0{,}94} = 0{,}06383 = 6{,}383\% \text{ a.s.} \](Confira: 940 · 1,06383 = 1.000.) Convertendo para a taxa mensal equivalente:\[ i_{\text{mensal}} = (1 + 0{,}06383)^{\frac{1}{6}} - 1 = 0{,}01037 = 1{,}04\% \text{ a.m.} \]Um banco cobra os juros antecipadamente: em um empréstimo de R$ 1.000 por um mês, libera R$ 980. Qual a taxa efetiva de juros ao mês?Gabarito: 2,04% a.m. — a taxa de desconto é d = 20 / 1.000 = 2%, e a de juros é i = d / (1 - d) = 0,02 / 0,98 = 0,0204. Conferindo: 980 · 1,0204 = 1.000. Os 2% são a taxa de desconto, calculada sobre os R$ 1.000, mas o cliente só recebeu R$ 980.No regime composto, qual taxa de desconto por fora por período equivale a uma taxa de juros de 25% por período?Gabarito: 20% — d = i / (1 + i) = 0,25 / 1,25 = 0,20. Conferindo: descontar 20% de 100 dá 80, e 80 · 1,25 = 100. Os 33,33% seriam a conta ao contrário, d / (1 - d) com d = 25%.Exercícios1) A relação entre o valor futuro e o valor presente de uma operação financeira no regime de juro composto é igual a 2. Se o prazo dessa operação foi de 730 dias, calcule a taxa de juro com período de 30 dias.2) Foram investidos $ 120.000 na compra de ações. Depois de 276 dias, as ações foram vendidas por $ 140.981,02. Calcule a taxa de juro com período de 365 dias.3) Uma dívida de R$ 80.000,00 vence daqui a 5 meses. Considerando uma taxa de juros de 1,3% a.m., obtenha seu valor atual nas seguintes datas:Hoje.Daqui a 2 meses.Dois meses antes do vencimento.4) Quanto devo aplicar hoje, a juros compostos à taxa de 1,5% a.m., para fazer frente a um compromisso de R$ 27.000,00 daqui a dois meses?5) Quanto devo aplicar hoje, a juros compostos à taxa de 3% a.m., para fazer frente a um compromisso de R$ 27.000,00 daqui a dois meses?6) Uma dívida de R$ 50.000,00 vence daqui a dois meses, e outra, de R$ 60.000,00, daqui a 4 meses. Quanto devo aplicar hoje, a juros compostos à taxa de 0,8% a.m., para fazer frente a esses compromissos?7) Uma dívida de R$ 60.000,00 vence daqui a dois meses, outra de R$ 70.000,00 daqui a 3 meses e outra de R$ 80.000,00 daqui a 4 meses. Quanto devo aplicar hoje, a juros compostos à taxa de 0,8% a.m., para fazer frente a esses compromissos?8) Um equipamento é vendido por R$ 50.000,00 para pagamento daqui a dois meses. À vista, há um desconto de 3,5%. Qual a melhor opção de pagamento para um comprador que consegue aplicar seu dinheiro à taxa de 1,8% a.m.?9) Um equipamento é vendido por R$ 50.000,00 para pagamento daqui a dois meses. À vista, há um desconto de 3,5%. Qual a melhor opção de pagamento para um comprador que consegue aplicar seu dinheiro à taxa de 1,4% a.m.?10) O que é melhor para um comprador: pagar um valor daqui a 45 dias ou pagar à vista com 3% de desconto? Suponha que o comprador consiga aplicar seu dinheiro à taxa de 1,3% a.m.11) Qual taxa de aplicação deixa um comprador indiferente entre as alternativas: pagar um valor daqui a 45 dias ou pagar à vista com 3% de desconto?12) Rogério possui um título de dívida com vencimento daqui a 6 meses e valor nominal de R$ 85.000,00. Ernesto propõe trocá-lo por um título que vence daqui a três meses, de valor igual a R$ 82.000,00. Sendo de 1% a.m. a taxa de juros compostos de mercado, verifique se a troca é vantajosa para Rogério.Gabarito1) 2,8895% aos 30 dias2) 23,75% aos 365 dias3) a) R$ 74.996,80; b) R$ 76.959,40; c) R$ 77.959,874) R$ 26.207,875) R$ 25.450,096) R$ 107.327,297) R$ 204.888,328) A prazo (aplicando R$ 48.247,46 hoje, a 1,8% a.m., o comprador terá os R$ 50.000 em dois meses, um pouco menos que os R$ 48.250,00 à vista)9) À vista (para ter R$ 50.000 em dois meses a 1,4% a.m., seria preciso aplicar R$ 48.628,86, mais que os R$ 48.250,00 à vista)10) À vista11) 2,05% a.m.12) Não é vantajosa. Hoje, o título de Rogério vale 85.000 / 1,01⁶ = R$ 80.073,84, e o de Ernesto vale 82.000 / 1,01³ = R$ 79.588,39; Rogério trocaria um título por outro de menor valor.
Reações
0
0 Comentários
Seja o primeiro a comentar
Nada aqui ainda.