IntroduçãoA taxa interna de retorno (TIR) é a taxa de juros que faz com que a soma de todos os fluxos de caixa, levados ao valor presente, seja igual a zero.Considere o seguinte problema: temos um investimento feito na data 0 e um conjunto de valores positivos y₁, y₂, y₃, …, yₜ recebidos nas datas 1, 2, 3, …, t. Queremos descobrir a taxa de juros i que zera a soma de todos esses valores em valor presente (o investimento entra com sinal negativo). Zerar essa soma significa que aplicar o valor investido à taxa i geraria exatamente aqueles recebimentos: a TIR é, portanto, a rentabilidade do próprio investimento.Para as empresas, a TIR é muito importante porque serve para avaliar um investimento. Espera-se que um projeto tenha uma taxa de retorno acima do rendimento da poupança e, de preferência, acima dos títulos do Tesouro, que são investimentos muito seguros: se não render mais que eles, não compensa correr o risco do projeto.O que significa dizer que a TIR de um projeto é de 12% ao ano?Gabarito: Que o valor presente dos fluxos do projeto, descontados a 12% ao ano, é igual a zero — essa é a definição da TIR: a taxa que zera o VPL, ou seja, a rentabilidade composta do projeto. Ela não é um lucro total sobre o investimento nem um retorno em juros simples.Cálculo da taxa interna de retornoNo caso mais simples, com um único investimento na data 0, o problema consiste em achar o valor de i tal que:\[ \text{investimento} = \frac{y_1}{(1+i)^{1}} + \frac{y_2}{(1+i)^{2}} + ... +\frac{y_t}{(1+i)^{t}} \]Como pode haver vários investimentos, em datas diferentes, a forma mais geral é tratar cada fluxo com o seu sinal (saídas negativas, entradas positivas) e exigir que o valor presente líquido (VPL) seja zero:\[ 0 = y_0 + \frac{y_1}{(1+i)^{1}} + \frac{y_2}{(1+i)^{2}} + ... +\frac{y_t}{(1+i)^{t}} \]Um exemplo numérico:tempofluxo de caixa0- 5.00012.00022.00032.000A TIR (em inglês, IRR) é a taxa i que satisfaz:\[ 0 = -5.000 + \frac{2.000}{(1+i)^{1}} + \frac{2.000}{(1+i)^{2}} + \frac{2.000}{(1+i)^{3}} \]É preciso resolver uma equação polinomial de grau t, o que em geral não pode ser feito por fórmula (equações de grau acima de 4 não têm fórmula resolutiva, e mesmo as de grau 3 e 4 têm fórmulas impraticáveis). Na prática, usa-se a calculadora financeira HP 12C ou a função TIR de uma planilha. Como não usaremos calculadora neste curso, veremos um método aproximado de resolução: testar taxas.Testando algumas taxas:Taxa de jurosValor presente líquido (VPL)5%44610%-26Como o VPL deu positivo para 5% e negativo para 10%, a TIR está entre 5% e 10%. Para estimá-la, usamos a interpolação linear: admitimos que, entre essas duas taxas, a curva do VPL é um segmento de reta. Por semelhança de triângulos:\[ \frac{446}{i - 5\%}=\frac{26}{10\% - i}\]\[ 446 · (0,10 - i) = 26 · (i - 0,05)\]\[ 44,6 - 446i = 26i - 1,3\]\[ 472i = 45,9 \Rightarrow i = 0,0972 = 9,72\% \]Pela interpolação linear, a TIR é de aproximadamente 9,72% (o valor exato é 9,70%: a interpolação erra pouco porque a curva do VPL é quase reta nesse trecho).Outra forma, mais simples e menos precisa, é usar o ponto médio entre as duas taxas, neste caso 7,5%, e repetir o processo (é o chamado método da bisseção). Com juros de 7,5%, o VPL é de 201 reais, positivo. Como com 10% o VPL é de -26 reais, negativo, a TIR está entre os dois; o novo ponto médio é 8,75%, que gera VPL de 85 reais, ainda positivo, então a TIR está entre 8,75% e 10%, e assim por diante.Podemos repetir essas iterações quantas vezes quisermos até chegar muito perto do valor real da TIR. É exatamente isso o que as calculadoras fazem, só que realizam dezenas de iterações em poucos milissegundos.ExemplosConsidere o seguinte fluxo de caixa e calcule sua taxa interna de retornotempofluxo de caixa0- 40115220322Testando algumas taxas:Taxa de jurosValor presente líquido (VPL)5%11,4310%6,6915%2,6320%-0,88A TIR é a taxa de juros que faz o VPL ser zero. Como o VPL muda de sinal entre 15% e 20%, a TIR está nesse intervalo. Interpolando:\[ \frac{2,63}{i - 15\%}=\frac{0,88}{20\% - i}\]\[ i = 15\% + 5\% · \frac{2,63}{2,63 + 0,88} = 18,75\%\]Pela interpolação, a TIR é de aproximadamente 18,75% (o valor exato é 18,68%). Usando apenas o ponto médio, a primeira estimativa seria de 17,5%.Calcule a taxa interna de retorno do investimento dado pelos fluxos de caixa a seguirtempofluxo de caixa05001-1.50021.000Trata-se de um investimento não convencional, porque o fluxo de caixa muda de sinal mais de uma vez (entrada, saída, entrada). Indicando por i a taxa procurada, devemos ter:\[ 0 = 500 - \frac{1.500}{(1+i)^{1}} + \frac{1.000}{(1+i)^{2}} \]Multiplicando tudo por (1 + i)² e depois dividindo por 500:\[ 0 = 500·(1+i)^{2} - 1.500·(1+i)^{1} + 1.000 \]\[ 0 = (1+i)^{2} - 3·(1+i)^{1} + 2 \]\[ 0 = i^{2} + 2·i + 1- 3 - 3·i + 2 \]\[ 0 = i^{2} - i = i(i - 1) \]\[ i = 0 \text{ ou } i = 1\]A TIR é de 0% ou de 100%: há duas taxas que zeram o VPL. Analisando melhor, o VPL é negativo para taxas entre 0% e 100% e positivo para taxas acima de 100%. Esse é o ponto fraco da TIR: quando o fluxo muda de sinal mais de uma vez, pode haver mais de uma TIR (ou nenhuma), e nesse caso é melhor decidir pelo VPL.Um investimento de R$ 1.000,00 devolve um único pagamento de R$ 1.210,00 ao fim de dois anos. Qual é a sua TIR?Gabarito: 10% ao ano — a TIR é a taxa i tal que 1.000 · (1 + i)² = 1.210, ou seja, (1 + i)² = 1,21 e 1 + i = 1,1. A opção 21% é o retorno total dos dois anos; 10,5% é esse retorno dividido por dois, como se fossem juros simples.O VPL de um projeto é de R$ 30,00 à taxa de 10% e de -R$ 20,00 à taxa de 15%. Pela interpolação linear, qual a TIR aproximada?Gabarito: 13% — a distância total entre os VPLs é 30 + 20 = 50; o zero fica a 30/50 = 60% do caminho entre 10% e 15%, ou seja, i = 10% + 0,6 · 5% = 13%. A opção 12,5% é o ponto médio, que ignora que o VPL de 10% está mais longe de zero.Como usar a TIR para decidirPara decidir se vale a pena investir, comparamos a TIR com a taxa mínima de atratividade (TMA), que é o retorno mínimo que o investidor aceita — em geral, o que ele conseguiria em uma aplicação segura, como os títulos do Tesouro, mais um prêmio pelo risco.Se a TIR for maior que a TMA, o investimento rende mais que a alternativa e deve ser aceito (o VPL calculado à TMA é positivo).Se a TIR for menor que a TMA, o investimento deve ser rejeitado.Se forem iguais, é indiferente.O mesmo raciocínio vale para quem toma dinheiro emprestado: a TIR de um financiamento é o custo efetivo dele, e só vale a pena financiar se esse custo for menor que o rendimento que o comprador conseguiria aplicando o dinheiro (veja os exercícios 3 e 6 abaixo).Um projeto tem TIR de 12% ao ano, e a empresa só aceita projetos que rendam pelo menos 15% ao ano (sua TMA). O que ela deve fazer?Gabarito: Rejeitar, porque a TIR é menor que a TMA — o projeto rende 12% e a empresa exige 15%. Descontado a 15%, o VPL desse projeto convencional seria negativo, e não positivo; uma TIR positiva, por si só, não diz se o projeto vale a pena.Exercícios1) Um banco concede a uma empresa um empréstimo de R$ 600.000,00 para ser pago em três prestações, vencíveis em um, dois e três anos, de R$ 200.000,00, R$ 300.000,00 e R$ 400.000,00, respectivamente. Qual a taxa de juros desse empréstimo?2) Um equipamento é vendido à vista por R$ 13.000,00 ou, então, com R$ 3.000,00 de entrada mais três prestações mensais de R$ 4.000,00 cada uma. Qual a taxa de juros desse financiamento?3) Se, no problema anterior, o comprador tem dinheiro para comprar à vista e consegue remunerar suas aplicações à taxa de 2% a.m., qual sua melhor alternativa?4) Uma máquina é vendida por R$ 35 mil à vista ou a prazo em seis prestações mensais, sem entrada, sendo de R$ 6 mil cada uma das três primeiras e de R$ 8 mil cada uma das três últimas. Qual a taxa de juros desse financiamento?5) Um terreno é vendido à vista por R$ 60.000,00 ou, então, a prazo em seis prestações mensais iguais de R$ 11.000,00 cada uma, vencendo a primeira três meses após a compra. Qual a taxa de juros do financiamento?6) Uma matéria-prima é vendida por R$ 900,00 em três parcelas mensais iguais, sem acréscimo, sendo a primeira dada como entrada. Se o pagamento é feito à vista, há um desconto de 5% sobre o preço de venda.a) Qual a taxa de juros do financiamento?b) Qual a melhor alternativa de pagamento para o comprador se ele consegue aplicar seu dinheiro à taxa de 1,7% a.m.?7) Uma pessoa aplicou R$ 500.000,00 e recebeu R$ 200.000,00 após um mês, R$ 250.000,00 após dois meses e R$ 300.000,00 após três meses. Qual a taxa interna de retorno desse investimento?8) Aplicando R$ 120.000,00, uma pessoa estima receber R$ 40.000,00, R$ 60.000,00 e R$ 90.000,00 após três, cinco e sete meses, respectivamente.a) Qual a taxa interna de retorno desse investimento?b) Supondo que a taxa mínima de atratividade do investidor seja de 6% a.m., verifique se o investimento deve ser feito.9) Admitindo que os dividendos proporcionados por uma ação sejam de R$ 12,00 e R$ 14,00, daqui a seis e 12 meses, e que o valor estimado de venda seja de R$ 125,00, daqui a 12 meses, calcule:a) O valor a ser pago hoje por essa ação, de forma que o investidor obtenha uma taxa de retorno de 9% a.s.b) Se o investidor pagar hoje R$ 120,00 pela ação, qual a taxa de retorno obtida?10) Uma empresa obteve um financiamento de R$ 10.000,00 à taxa de 120% a.a. capitalizados mensalmente (isto é, uma taxa efetiva de 10% a.m.). A empresa pagou R$ 6.000,00 no final do primeiro mês e R$ 3.000,00 no final do segundo mês. Calcule o valor a ser pago no final do terceiro mês para liquidar a dívida.Gabarito1) 20,61% a.a.2) 9,70% a.m.3) Comprar à vista.4) 5,13% a.m.5) 1,76% a.m.6) a) 5,36% a.m.; b) À vista.7) 21,65% a.m.8) a) 8,85% a.m.; b) Deve ser feito.9) a) R$ 128,00; b) 12,74% a.s.10) R$ 2.750,00
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