Lors du cours précédent, le taux d'actualisation k avait été défini par une formule vague : « taux sans risque augmenté d'une prime de risque ». Mais qu'est-ce que le risque, exactement ? Comment le mesurer ? Et pourquoi deux actifs risqués peuvent-ils, une fois réunis, former un portefeuille plus sûr que chacun d'eux pris séparément ?Ce cours construit, pièce par pièce, la réponse qui a valu un prix Nobel à Harry Markowitz : le risque se mesure par la dispersion des rendements, se combine grâce à la corrélation et se réduit par la diversification — le seul déjeuner gratuit de la finance. À la fin, vous comprendrez pourquoi « ne mettez pas tous vos œufs dans le même panier » a cessé d'être un proverbe de grand-mère pour devenir un théorème mathématique.1. Le risque, c'est la dispersion : rendement attendu et écartsEn finance, le risque n'est pas la « probabilité qu'un événement défavorable se produise » : c'est l'incertitude sur le résultat, à la hausse comme à la baisse. Un actif dont le rendement peut être de −20 % ou de +40 % est plus risqué qu'un actif qui oscille entre +8 % et +12 %, même si leur moyenne est identique.Le point de départ est le rendement attendu : la moyenne des rendements possibles, pondérée par la probabilité de chaque scénario.E[R] = Σ (probabilité du scénario × rendement dans le scénario)1.1 Exemple résoluL'action de Cia. Ciclotur connaît trois scénarios pour l'année prochaine :Récession (probabilité de 30 %) : rendement de −10 %. Situation normale (40 %) : +10 %. Expansion (30 %) : +30 %.E[R] = 0,30 × (−10 %) + 0,40 × 10 % + 0,30 × 30 % = −3 % + 4 % + 9 % = 10 % par anUne action a 50 % de probabilité de rapporter 20 % et 50 % de probabilité de rapporter 0 %. Son rendement attendu est de...Réponse : 10 % — E[R] = 0,5 × 20 % + 0,5 × 0 % = 10 %. Remarquez que le rendement « attendu » peut très bien ne jamais se réaliser (les résultats possibles sont 0 % ou 20 %) : il représente le centre de gravité des possibilités, pas une promesse.2. La volatilité : mettre des chiffres sur la nervositéDeux actifs peuvent avoir le même E[R] et des tempéraments complètement différents. La mesure de cette instabilité est la variance — la moyenne pondérée des écarts au carré par rapport au rendement attendu — et surtout sa racine carrée : l'écart type, que le marché appelle volatilité (σ), exprimée dans la même unité que le rendement (% par an).Reprenons Ciclotur (E[R] = 10 %) :Écarts : récession : −10 − 10 = −20 p.p. ; situation normale : 0 ; expansion : +20 p.p.Variance = 0,30 × (−20)² + 0,40 × 0² + 0,30 × (20)² = 120 + 0 + 120 = 240Volatilité = √240 ≈ 15,5 % par anÀ retenir : les rendements de Ciclotur ont tendance à se disperser dans une fourchette de ±15,5 p.p. autour des 10 % attendus. Pour confronter votre intuition au monde réel : une LFT a une volatilité proche de zéro ; l'Ibovespa se situe historiquement autour de 20–30 % par an ; celle d'une action individuelle est souvent bien plus élevée. Plus σ est élevé, plus le risque est grand — c'est l'étalon.Deux fonds ont affiché le même rendement moyen de 12 % par an au cours de la dernière décennie. Le fonds Alfa avait un écart type de 5 % par an ; le fonds Beta, de 25 % par an. On peut donc affirmer que...Réponse : Le fonds Beta était plus risqué, car ses rendements étaient beaucoup plus dispersés autour de la moyenne — même moyenne, tempéraments opposés : celui qui a dû effectuer un retrait lors d'une mauvaise année pour Beta a bien senti la différence. Le risque, c'est la dispersion, pas la moyenne.3. La magie de Markowitz : 1 + 1 peut faire moins que 2Voici le saut conceptuel du cours. L'intuition naïve voudrait que le risque d'un portefeuille soit la moyenne des risques de ses actifs. Faux — et c'est de cette erreur qu'est née la théorie moderne des portefeuilles.3.1 L'expérience de la plageImaginez deux entreprises dans la même ville côtière :La Glacière Solmar : elle réalise des bénéfices pendant les étés caniculaires et souffre les années pluvieuses. E[R] = 12 %, σ = 20 %.La Parapluies Torrente : le miroir parfait — elle gagne de l'argent quand il pleut et souffre quand il fait soleil. E[R] = 12 %, σ = 20 %.Chacune, prise isolément, est un véritable tour de montagnes russes. Mais que se passe-t-il avec un portefeuille investi à 50 % dans chacune ? Dans TOUS les scénarios — soleil ou pluie — ce que l'une perd, l'autre le gagne. Le rendement du portefeuille reste fixé à 12 %, avec une volatilité nulle. Deux actifs risqués ont ainsi formé un portefeuille sans risque.3.2 L'ingrédient secret : la corrélationCe qui a rendu cette magie possible, c'est le coefficient de corrélation (ρ) entre les rendements — un nombre compris entre −1 et +1 qui mesure à quel point deux actifs évoluent ensemble :ρ = +1 : une danse parfaitement synchronisée. Diversifier entre eux ne réduit aucunement le risque : le portefeuille correspond à la moyenne des risques.ρ = 0 : des danseurs indépendants. La diversification réduit déjà le risque : dans notre exemple (deux actifs avec σ = 20 %, investis à parts égales), la volatilité du portefeuille tombe à √(0,25×400 + 0,25×400) ≈ 14,1 % — en dessous des 20 % de chacun.ρ = −1 : une danse en miroir, comme dans le cas Solmar × Torrente. Avec les bons coefficients de pondération, le risque peut être complètement éliminé : σ = 0.La règle générale à retenir : dès que ρ < 1, le risque du portefeuille est INFÉRIEUR à la moyenne pondérée des risques individuels. Comme presque aucune paire d'actifs réels n'affiche une corrélation parfaite, diversifier réduit presque toujours le risque sans sacrifier le rendement attendu — voilà le déjeuner gratuit.Mais attention : les corrélations ne sont pas fixes. Lors des crises aiguës, les corrélations entre actifs risqués ont tendance à augmenter (« quand les marchés baissent, tout baisse ensemble ») : la diversification protège moins au moment précis où l'on en a le plus besoin. Une véritable protection contre la panique systémique exige des actifs de nature différente (obligations d'État, dollar), et pas seulement un plus grand nombre d'actions différentes.Deux actifs présentent une corrélation égale à −1 entre leurs rendements. En les combinant dans un portefeuille avec les pondérations adéquates, il est possible de...Réponse : Éliminer complètement le risque du portefeuille — avec ρ = −1, les mouvements s'annulent exactement et il existe une combinaison de pondérations telle que σ = 0. C'est le cas limite théorique qui révèle le mécanisme : le risque conjoint dépend de la manière dont les actifs évoluent l'un par rapport à l'autre, et pas seulement de l'amplitude de leurs fluctuations.4. La limite du déjeuner gratuit : risque systématique × risque spécifiqueSi la diversification réduit le risque, pourquoi ne pas diversifier à l'infini et tout annuler ? Parce que le risque total de toute action comporte deux composantes de nature différente :Risque non systématique (spécifique ou diversifiable) : les événements propres à l'entreprise ou au secteur — la grève dans une usine, la fraude comptable, le concurrent qui a pris des parts de marché, le gel qui détruit une récolte. Comme ces événements sont indépendants d'une entreprise à l'autre, les malchances des unes sont compensées par la réussite des autres au sein d'un portefeuille largement diversifié : ce risque disparaît avec la diversification. Les études classiques montrent qu'un portefeuille comprenant entre 15 et 30 actions bien réparties entre les secteurs suffit déjà à en éliminer la majeure partie.Risque systématique (de marché, non diversifiable) : les événements qui touchent toutes les entreprises en même temps — le Copom qui relève les taux, la récession, la crise de change, la pandémie. Peu importe le nombre d'actions détenues : quand la marée descend, tous les bateaux baissent. Ce risque ne disparaît pas avec la diversification.La conséquence logique, qui prépare le prochain cours : si le risque spécifique peut être éliminé gratuitement, le marché ne rémunère pas le fait de le supporter. Le seul risque rémunéré est le risque systématique — et mesurer l'exposition de chaque action à ce risque est le rôle d'un indicateur appelé bêta, la vedette du cours 12.Une grève prolongée paralyse les usines d'une seule entreprise, faisant chuter le cours de ses actions. Pour un investisseur diversifié, cet événement représente un risque...Réponse : Non systématique, que la diversification du portefeuille dilue — l'événement est propre à cette entreprise ; dans un portefeuille de dizaines de titres, son impact est faible et tend à être compensé. En revanche, une hausse générale des taux d'intérêt serait systématique : elle toucherait l'ensemble du portefeuille.Même en détenant un portefeuille composé de centaines d'actions de tous les secteurs, un investisseur reste exposé au risque...Réponse : Systématique, lié à des facteurs qui affectent l'ensemble du marché — taux d'intérêt, récession, crises. La diversification élimine le risque spécifique, mais le risque de marché constitue le plancher incompressible : c'est lui, et lui seul, que le marché rémunère par une prime.“La diversification est le seul déjeuner gratuit de la finance.”- Attribuée à Harry Markowitz, prix Nobel 19905. Tout mettre en perspectiveL'essentiel du cours :Le rendement attendu est la moyenne pondérée des scénarios ; le risque est une dispersion, mesurée par la variance et par l'écart type (volatilité).Le risque d'un portefeuille dépend de la manière dont les actifs évoluent ensemble : la corrélation (ρ), comprise entre −1 et +1. Lorsque ρ < 1, le risque du portefeuille se situe en dessous de la moyenne des risques — et avec ρ = −1, il peut atteindre zéro.La diversification réduit le risque sans diminuer le rendement attendu — mais les corrélations augmentent en période de crise, et le déjeuner gratuit se réduit lorsque le restaurant prend feu.Le risque total se divise entre risque non systématique (spécifique, éliminable avec environ 15–30 actions diversifiées) et risque systématique (de marché, incompressible). Seul le risque systématique est rémunéré.Au prochain cours, le grand final des placements en actions : la théorie des portefeuilles et le CAPM. La frontière efficiente, le bêta comme mesure du risque pertinent — et enfin la formule qui transforme « taux sans risque + prime de risque » en ce taux k qui manquait à Gordon.Exercice à discuter en classeLe portefeuille du commandant. Réfléchissons ensemble.Túlio est commandant de bord dans une grande compagnie aérienne brésilienne, où il travaille depuis 15 ans. Fier de son entreprise, il a constitué son patrimoine de la manière suivante : 70 % en actions de sa propre compagnie aérienne (une partie achetée, une partie reçue dans le cadre de programmes de rémunération), 20 % en actions de deux autres entreprises du tourisme (une chaîne d'hôtels et un voyagiste) et 10 % sur un compte courant. « J'investis dans ce que je connais », dit-il.Discutez avec votre groupe :(a) Séparez les risques du portefeuille de Túlio selon les deux composantes du cours : qu'est-ce qui relève du risque spécifique et qu'est-ce qui relève du risque systématique ? Son portefeuille est-il diversifié ?(b) Il existe un actif gigantesque en dehors du portefeuille financier de Túlio : son capital humain — le flux de ses futurs salaires. Quelle est la corrélation entre cet « actif » et le portefeuille qu'il a constitué ? Que se passe-t-il pour TOUT en même temps dans un scénario de flambée des prix du pétrole ou de pandémie ?(c) « J'investis dans ce que je connais » est-il un bon principe de diversification ? Dans quels cas la familiarité est-elle utile, et dans quels cas devient-elle un piège ?(d) Proposez une restructuration du portefeuille en utilisant les concepts du cours : quels types d'actifs présentent une corrélation faible (ou négative) avec le risque aérien-touristique ? Réfléchissez aux secteurs, aux placements à revenu fixe (cours 3–8) et au rôle des 10 % sur le compte courant.(e) Même après une restructuration parfaite, quel risque Túlio continuera-t-il de supporter ? Peut-on se diversifier contre ce risque ?Indications pour l’enseignant : (a) Le portefeuille est investi à 90 % dans un seul cluster de risque (aérien-tourisme) : le « spécifique » du secteur est loin d’être dilué — grève, accident, pétrole et change frappent tout simultanément ; les corrélations internes très élevées font que 3 actifs fonctionnent comme 1. (b) Corrélation fortement positive : le salaire de Túlio et son portefeuille dépendent de la même industrie — en cas de choc sectoriel, il peut perdre simultanément son emploi et son patrimoine (évoquer des cas réels de salariés fortement exposés aux actions de leur propre employeur) ; le capital humain doit figurer sur la carte des risques. (c) Connaître le secteur aide à ÉVALUER (Cours 10), mais ne protège pas contre la concentration — la familiarité engendre un excès de confiance et un biais de loyauté ; connaître ne décorrèle pas. (d) Réponses défendables : diversifier largement dans des secteurs peu liés au tourisme (services aux collectivités, assainissement, banques, entreprises exportatrices — remarque importante : les compagnies pétrolières montent lorsque le coût du transport aérien explose, ce qui constitue une couverture naturelle partielle), investir dans un indice large via un ETF pour éliminer d’un coup le risque spécifique, et conserver une base de titres à revenu fixe (LFT/IPCA+) comme réserve et garantie — les 10 % sur le compte courant ne rapportent rien et devraient au moins être placés en LFT (Cours 5). (e) Le risque systématique : récession mondiale, taux d’intérêt et crises font également baisser le portefeuille ainsi restructuré — on ne peut pas s’en protéger par la seule diversification en actions, mais uniquement par une allocation entre CLASSES (titres à revenu fixe, devises) et par la prime que le marché verse pour le supporter, thème du Cours 12.Exercices1) (Inédite - style CESGRANRIO) Une action présente les scénarios suivants pour l’année prochaine : un rendement de −5 % avec une probabilité de 20 % ; un rendement de 10 % avec une probabilité de 50 % ; et un rendement de 20 % avec une probabilité de 30 %. Le rendement attendu de cette action est de :A) 10,0 %.B) 8,3 %.C) 12,5 %.D) 6,0 %.E) 25,0 %.2) (Inédite - style CESGRANRIO) Un actif présente deux scénarios de rendement équiprobables : 4 % ou 16 %. Le rendement attendu et l’écart-type de cet actif sont respectivement de :A) 10 % et 6 %.B) 10 % et 36 %.C) 12 % et 6 %.D) 10 % et 12 %.E) 8 % et 4 %.3) (Inédite - style CESGRANRIO) Le coefficient de corrélation entre les rendements de deux actifs financiers peut prendre des valeurs :A) comprises entre −1 et +1, indiquant des mouvements parfaitement opposés à parfaitement synchronisés.B) comprises entre 0 et +1, car les corrélations négatives n’existent pas en finance.C) comprises entre 0 % et 100 %, comme tout taux.D) uniquement égales à −1, 0 ou +1.E) n’importe quel nombre réel, sans limites.4) (Inédite - style FGV) La réduction du risque procurée par la diversification entre deux actifs est maximale lorsque la corrélation entre leurs rendements est égale à :A) −1.B) +1.C) 0.D) +0,5.E) n’importe quelle valeur, car la corrélation n’a aucune influence sur la diversification.5) (Inédite - style FGV) Sont respectivement des exemples de risque systématique (non diversifiable) et de risque non systématique (diversifiable) :A) une hausse généralisée du taux directeur et une fraude comptable découverte dans une entreprise donnée.B) une grève dans l’usine d’une entreprise et une récession mondiale.C) la perte d’un brevet par une entreprise et le rappel d’un produit d’une autre.D) une pandémie mondiale et une crise de change.E) la baisse des bénéfices d’un distributeur et l’incendie dans l’entrepôt d’un concurrent.6) (Inédite - style CESGRANRIO) Deux actifs présentent chacun un écart-type de 20 % par an. Combinés dans un portefeuille investi à 50 % dans chacun d’eux, et la corrélation entre eux étant INFÉRIEURE à +1, l’écart-type du portefeuille sera :A) inférieur à 20 %.B) exactement égal à 20 %.C) supérieur à 20 %.D) égal à 40 %.E) égal à zéro, quelle que soit la corrélation.7) (Inédite - style CEBRASPE, juger l’énoncé) Jugez l’énoncé : « En répartissant ses ressources entre un nombre suffisamment important d’actions de secteurs différents, l’investisseur élimine intégralement le risque de son portefeuille, y compris le risque associé aux récessions et aux variations des taux d’intérêt. »( ) Vrai ( ) Faux8) (Inédite - style CEBRASPE, juger l’énoncé) Jugez l’énoncé : « Lorsque la corrélation entre les rendements de deux actifs est égale à +1, la diversification entre eux ne réduit pas le risque, et l’écart-type du portefeuille correspond à la moyenne pondérée des écarts-types individuels. »( ) Vrai ( ) FauxCorrigé1) A — E[R] = 0,20 × (−5) + 0,50 × 10 + 0,30 × 20 = −1 + 5 + 6 = 10 %.2) A — E[R] = 0,5 × 4 + 0,5 × 16 = 10 %. Écarts : ±6 p.p. ; variance = 0,5 × 36 + 0,5 × 36 = 36 ; écart-type = √36 = 6 %. La réponse B confond la variance (36) et l’écart-type — le piège classique du thème.3) A — ρ se situe entre −1 (miroir parfait) et +1 (synchronisation parfaite), en passant par 0 (indépendance). C’est cette amplitude qui fait de la corrélation l’ingrédient secret de la diversification.4) A — Plus la corrélation est faible, plus le bénéfice est important ; à la limite, lorsque ρ = −1, les mouvements s’annulent et le risque peut être ramené à zéro avec les pondérations adéquates (le couple glaciers × parapluies).5) A — Le risque systématique touche tout le monde (taux d’intérêt, récession, change, pandémie) ; le risque spécifique n’en touche qu’un seul (fraude, grève, rappel). Les autres réponses mélangent les deux catégories ou présentent deux risques du même type.6) A — Règle centrale du cours : avec ρ < 1, le risque du portefeuille reste inférieur à la moyenne pondérée des risques (ici, inférieur à 20 %). Il ne serait exactement égal à 20 % qu’avec ρ = +1 ; pour obtenir zéro, il faudrait ρ = −1 avec des pondérations adéquates.7) Faux — La diversification élimine le risque spécifique, mais le risque systématique (récession, taux d’intérêt) touche toutes les actions et demeure — c’est le plancher incompressible des placements à revenu variable.8) Vrai — Avec ρ = +1, il n’y a aucune annulation : le portefeuille évolue exactement comme la moyenne des actifs. C’est le seul cas où l’intuition naïve (« risque du portefeuille = moyenne des risques ») est correcte.
Réactions
0
0 commentaires
Soyez le premier à commenter