Dans le cours 4, vous avez découvert la balançoire : quand les taux montent, les prix baissent. Et vous avez vu que l’échéance amplifie l’effet — la LTN à 5 ans a chuté de 8,5 % lors du même choc que celui où la LTN à 1 an a perdu 1,8 %. Une question à un million de dollars est restée en suspens : peut-on prévoir, avec un seul chiffre, de combien un titre va bouger ?Oui. Ce chiffre s’appelle la duration, et c’est probablement le concept le plus utilisé par les gérants obligataires dans le monde entier. Dans ce cours, vous apprendrez à la calculer, à l’utiliser pour estimer en quelques secondes les pertes et les gains — et à découvrir sa correction de fabrication, la convexité. C’est le cours le plus mathématique de la formation jusqu’ici. C’est aussi celui qui distingue le plus nettement ceux qui négocient des produits de taux de ceux qui se contentent d’y investir.1. La bonne question : quelle est la véritable échéance d’un titre ?Commençons par un casse-tête. Deux titres arrivent à échéance dans exactement 3 ans :Le titre A est une LTN : il verse R$ 1.000 en une seule fois, à l’échéance.Le titre B verse des coupons de R$ 100 à la fin de chaque année et rembourse R$ 1.100 la troisième année (principal + dernier coupon).Les deux « arrivent à échéance dans 3 ans ». Sont-ils pour autant aussi sensibles aux taux d’intérêt ? Non ! Le titre B vous rend une partie de votre argent plus tôt — et l’argent récupéré plus tôt reste moins longtemps exposé aux taux. La seule échéance ne suffit donc pas.La duration de Macaulay corrige cela : c’est le délai moyen de perception des flux, pondéré par la valeur actuelle de chacun. Au lieu de demander « quand le titre arrive-t-il à échéance ? », elle demande « au bout de combien de temps, en moyenne, mon argent me revient-il ? ».Conséquence immédiate, qui permet de résoudre la moitié des questions d’examen : pour les titres zéro coupon (comme la LTN), la duration est égale à l’échéance — tout l’argent revient en une seule fois, à la fin. Pour les titres à coupon, la duration est toujours inférieure à l’échéance.Une LTN (titre zéro coupon) arrive à échéance dans exactement 4 ans. Sa duration de Macaulay est de...Réponse : 4 ans, comme l’échéance, puisqu’il n’y a qu’un seul flux à l’échéance — sans paiements intermédiaires, le délai moyen pondéré EST l’échéance elle-même. Cette égalité ne vaut que pour les titres zéro coupon.2. Calcul de la duration de MacaulayCalculons la duration du titre B : coupons annuels de R$ 100, remboursement de R$ 1.100 la troisième année, taux de marché de 12 % par an.Étape 1 — valeur actuelle de chaque flux :Année 1 : 100 / 1,12 = R$ 89,29Année 2 : 100 / (1,12)² = R$ 79,72Année 3 : 1.100 / (1,12)³ = R$ 782,96Prix du titre = somme des VA = R$ 951,96Étape 2 — poids de chaque flux dans le prix :Année 1 : 89,29 / 951,96 = 9,4 %. Année 2 : 79,72 / 951,96 = 8,4 %. Année 3 : 782,96 / 951,96 = 82,2 %.Étape 3 — moyenne des échéances, pondérée par les poids :D = 1 × 0,094 + 2 × 0,084 + 3 × 0,822 = 2,73 ansInterprétation : bien que le titre arrive à échéance dans 3 ans, le « centre de gravité » de l’argent se situe à 2,73 ans. Pour mesurer sa sensibilité aux taux, c’est comme si le titre était une LTN à 2,73 ans.3. Duration modifiée : le multiplicateur des dégâtsLa duration de Macaulay mesure une échéance. Pour la transformer en sensibilité du prix, nous la divisons par le taux brut et obtenons la duration modifiée :Dmod = D / (1 + i)Dans notre exemple : Dmod = 2,73 / 1,12 = 2,44Et voici la formule que les gérants utilisent toute la journée :Variation en % du prix ≈ − Dmod × variation du taux (en points de pourcentage)Testons : si le taux passe de 12 % à 13 % (+1 p.p.), le prix du titre B baisse d’environ 2,44 × 1 = −2,44 %.Vérification par le calcul détaillé : en réévaluant les trois flux à 13 %, le prix passe de R$ 951,96 à R$ 929,17 — soit une baisse de −2,39 %. L’estimation par la duration s’est trompée de 0,05 point de pourcentage. Pas mal pour une multiplication de tête — et nous allons voir tout de suite d’où vient cette légère différence.Pour reprendre le cours 4 : la LTN à 2 ans au taux de 12 % a D = 2 et Dmod = 2/1,12 = 1,79. Lors du choc de +2 p.p. présenté dans ce cours, l’estimation donne −3,57 % ; la valeur exacte était de −3,48 %. Le calcul tient la route.Un titre a une duration de Macaulay de 5 ans et se négocie au taux de 10 % par an. Si le taux de marché augmente d’un point de pourcentage, la baisse approximative du prix estimée par la duration modifiée est de...Réponse : 4,55 % — Dmod = 5/1,10 = 4,545 ; variation ≈ −4,545 × 1 p.p. ≈ −4,55 %. La réponse à 5 % oublie de diviser par (1+i) : elle utilise la duration de Macaulay à la place de la duration modifiée, l’erreur la plus courante.4. Ce qui fait monter ou baisser la durationTrois paramètres déterminent la duration de tout titre :Échéance : plus l’échéance est lointaine, plus la duration est élevée. (C’est le paramètre dominant.)Coupon : plus les coupons sont ÉLEVÉS, plus la duration est FAIBLE — davantage d’argent revient rapidement, et le centre de gravité se rapproche. C’est pourquoi la NTN-B Principal (zéro coupon) est plus sensible que la NTN-B à intérêts semestriels ayant la même échéance.Taux de marché : plus le taux est élevé, plus la duration est faible — l’actualisation plus forte réduit la valeur actuelle des flux lointains et ramène le centre de gravité vers le présent.Vous disposez maintenant de tout le vocabulaire nécessaire pour comprendre le paradoxe du cours 5 : la NTN-B 2060 bouge autant parce qu’elle combine une échéance extrêmement longue et de petits coupons (ou aucun, dans le cas de la Principal) — la recette d’une duration maximale sur le marché brésilien.Deux titres ont le même émetteur, le même taux et la même échéance dans 10 ans. Le titre X verse de généreux coupons semestriels ; le titre Y est zéro coupon. Concernant leur sensibilité aux taux, il est correct d’affirmer que...Réponse : Y est plus sensible, car sa duration est supérieure à celle de X — pour un titre zéro coupon, duration = 10 ans ; avec de généreux coupons, l’argent revient plus tôt et la duration tombe nettement sous 10. Une même échéance ne signifie PAS un même risque : c’est le message central de ce cours.5. Convexité : la courbure qui joue en votre faveurD’où venait la différence entre les −2,44 % estimés et les −2,39 % réels ? La duration trace une droite tangente à la relation entre le prix et le taux. Mais la véritable relation est une courbe — convexe, avec sa partie bombée orientée vers le bas.Conséquence pratique, et elle est élégante : lorsque les variations de taux sont importantes, la droite de la duration exagère les pertes et sous-estime les gains. Le prix réel baisse MOINS que ne le prévoit la duration lorsque le taux monte, et il augmente DAVANTAGE que prévu lorsque le taux baisse.Autrement dit : la convexité est l’amie de l’investisseur. Entre deux titres ayant la même duration, celui qui présente la convexité la plus élevée se comporte mieux dans les deux scénarios — c’est pourquoi le marché accepte de le payer un peu plus cher. Pour les petits chocs (jusqu’à ~1 p.p.), la duration seule suffit ; pour les chocs importants, les gérants ajoutent l’ajustement lié à la convexité à leur estimation.Un gérant a estimé, à l’aide de la duration modifiée, une baisse de 8 % du prix d’un titre face à une forte hausse des taux. En tenant compte de l’effet de la convexité, la baisse effective devrait être...Réponse : Inférieure à 8 %, car la courbe des prix est convexe — la droite de la duration surestime les baisses et sous-estime les hausses. Lors de chocs importants, la convexité « restitue » toujours une partie de la perte estimée.6. À quoi sert-elle en pratique : immunisation et gestionLa duration n’est pas seulement un thermomètre — c’est aussi un volant. Deux usages dominent le marché :Immunisation : lorsqu’un investisseur doit honorer un engagement à une date précise (verser R$ 10 millions dans 5 ans, par exemple), il constitue un portefeuille dont la duration est égale à l’horizon du passif. Les deux risques opposés s’annulent ainsi : si les taux montent, le prix du portefeuille baisse, mais le réinvestissement des flux rapporte davantage ; s’ils baissent, le prix monte et compense le rendement plus faible du réinvestissement. Le cas parfait est celui d’un zéro coupon parfaitement apparié : une LTN à 5 ans pour un passif à 5 ans élimine le problème par construction. C’est la logique des fonds de pension — et celle de Beatriz dans le cours 5.Gestion active : celui qui anticipe une baisse des taux allonge la duration du portefeuille (davantage de NTN-B longues, davantage de titres à taux fixe longs) pour profiter de la hausse des prix ; celui qui anticipe une hausse la raccourcit (davantage de LFT, davantage de titres à échéance courte). La duration du portefeuille est tout simplement la moyenne des durations des titres, pondérée par la valeur de chaque position — un seul chiffre pour résumer le risque de millions investis dans des titres différents.“La duration est le volant de la gestion obligataire : elle ne change pas la route des taux, mais détermine l’ampleur des secousses ressenties par le passager dans chaque virage.”- Synthèse d’une salle de marché7. Pour tout rassemblerL’essentiel du cours :La duration de Macaulay est la moyenne des échéances des flux, pondérée par leurs valeurs actuelles — le « centre de gravité » de l’argent. Pour un titre zéro coupon, duration = échéance ; avec des coupons, elle est toujours inférieure.La duration modifiée (D/(1+i)) convertit l’échéance en sensibilité : ΔP% ≈ −Dmod × Δtaux.La duration augmente avec l’échéance et diminue lorsque les coupons et les taux sont plus élevés.La convexité corrige la droite de la duration : les pertes réelles sont inférieures et les gains réels supérieurs à l’estimation linéaire — c’est pourquoi elle est recherchée.L’immunisation aligne la duration du portefeuille sur l’échéance du passif ; la gestion active l’allonge lorsque l’on anticipe une baisse des taux et la raccourcit lorsque l’on anticipe une hausse.Dans le prochain cours, nous conclurons le chapitre consacré aux produits de taux en réunissant toutes les pièces du puzzle — évaluation au prix du marché, duration, courbe — au sein de stratégies et gestion des risques : comment les professionnels construisent, protègent et mettent véritablement à l’épreuve un portefeuille obligataire.Exercice à discuter en classeLe coffre-fort à date fixe. Réfléchissons ensemble.La trésorerie d’une entreprise doit verser R$ 10 millions dans exactement 5 ans (une obligation émise par l’entreprise qui arrive à échéance). L’argent existe déjà et est placé. Trois dirigeants défendent trois stratégies :Directeur A : « LFT. Zéro surprise, elle suit le Selic, nous dormons tranquilles. »Directeur B : « LTN arrivant à échéance dans 5 ans, parfaitement alignée sur le paiement. Nous bloquons le taux aujourd’hui et n’en parlons plus. »Directeur C : « NTN-B 2045, avec une duration d’environ 12 ans. Les taux vont s’effondrer dans les prochaines années ; profitons de la hausse des prix et remboursons la dette avec une marge. »Discutez avec votre groupe :(a) Quelle est la duration (approximative) de chaque stratégie ? Laquelle est immunisée contre le passif à 5 ans ?(b) La stratégie du Directeur A semble la plus sûre. Quel risque discret comporte-t-elle, si l’on considère la valeur accumulée dans 5 ans au cas où le Copom réduirait le Selic de moitié ?(c) Si le Directeur C a raison et que les taux baissent de 2 p.p., estimez (à l’aide de la duration) le gain de sa position. Et s’il se trompe et que les taux montent de 2 p.p., qu’advient-il de la capacité à rembourser la dette ?(d) Pourquoi la stratégie B est-elle appelée immunisation « par construction » ? Qu’est-ce qui la rend immunisée aussi bien contre une hausse que contre une baisse des taux ?(e) Existe-t-il un scénario dans lequel le choix de C serait défendable pour une trésorerie ? Qu’est-ce qui distingue la gestion des risques d’un pari ?Indications pour l'enseignant : (a) A : duration ≈ zéro (taux post-fixé quotidien, sans sensibilité significative au prix) ; B : duration = 5 (zéro coupon) = horizon → immunisée ; C : duration ≈ 12, décalée de +7 ans. (b) Risque de réinvestissement : la LFT ne bloque aucun taux — si le Selic est divisé par deux, le montant accumulé au bout de 5 ans peut être inférieur à l'objectif prévu ; la sécurité du prix n'est pas la sécurité de l'objectif. (c) Gain ≈ +2 × 12 = +24% (un peu moins après ajustement fin, davantage grâce à la convexité favorable) ; dans le scénario inverse, ≈ −24% : l'entreprise peut arriver à l'année 5 sans les R$ 10 millions — un risque de solvabilité, pas de volatilité. (d) Le zéro coupon à 5 ans verse exactement R$ X le jour précis où le passif devient exigible : il n'y a ni réinvestissement ni vente anticipée — les deux sources de risque disparaissent ensemble. (e) Uniquement si l'entreprise affecte sciemment un capital à risque à ce pari, avec des limites et un stop — et ce capital ne constitue alors plus l'épargne destinée au passif. Conclusion : la trésorerie fait coïncider la duration avec le passif (couverture) ; celui qui les désaligne pratique une gestion active avec l'argent des autres — la frontière éthique et technique entre les deux tient à l'étendue du mandat.Exercices1) (Inédite - style CESGRANRIO) Une LTN (titre zéro coupon) arrivant à échéance dans 3 ans présente une duration de Macaulay de :A) 3 ans.B) moins de 3 ans, en raison de l'actualisation des flux.C) plus de 3 ans, en raison de la capitalisation composée.D) 1,5 an, soit la moitié de la durée.E) impossible à déterminer sans le taux du marché.2) (Inédite - style CESGRANRIO) Un titre présente une duration de Macaulay de 5 ans et se négocie au taux de 10% par an. Sa duration modifiée est approximativement de :A) 4,55.B) 5,00.C) 5,50.D) 4,00.E) 0,50.3) (Inédite - style CESGRANRIO) Un titre dont la duration modifiée est de 6 subit une hausse de 0,5 point de pourcentage du taux d'intérêt du marché. La variation approximative de son prix, estimée par la duration, est de :A) −3,0%.B) −6,0%.C) +3,0%.D) −0,5%.E) −12,0%.4) (Inédite - style FGV) Un titre verse un coupon annuel de R$ 100,00 et rembourse R$ 1.100,00 (principal plus dernier coupon) à l'issue de 2 ans. Au taux du marché de 10% par an, son prix est de R$ 1.000,00, les valeurs actuelles des flux étant respectivement de R$ 90,91 (année 1) et R$ 909,09 (année 2). La duration de Macaulay de ce titre est approximativement de :A) 1,91 an.B) 2,00 ans.C) 1,50 an.D) 1,10 an.E) 2,10 ans.5) (Inédite - style FGV) Toutes choses égales par ailleurs, la duration de Macaulay d'un titre à revenu fixe :A) diminue lorsque le taux du coupon augmente.B) augmente lorsque le taux du coupon augmente.C) est indépendante du taux du coupon.D) diminue lorsque l'échéance augmente.E) est toujours égale à l'échéance.6) (Inédite - style CESGRANRIO) Un fonds de pension doit honorer un flux de prestations concentré dans 8 ans et souhaite immuniser son portefeuille de titres à revenu fixe contre les fluctuations des taux d'intérêt. Pour cela, il doit structurer le portefeuille de sorte que :A) sa duration soit d'environ 8 ans, égale à l'horizon du passif.B) sa duration soit la plus faible possible, en se concentrant sur les LFT.C) sa duration soit la plus élevée possible, afin de maximiser la convexité.D) tous les titres arrivent à échéance dans au plus 1 an, avec renouvellement des positions.E) le portefeuille ne contienne que des titres à taux fixe arrivant à échéance dans plus de 20 ans.7) (Inédite - style CEBRASPE, juger l'énoncé) Jugez l'énoncé : "En raison de la convexité de la relation entre le prix et le taux, la perte effective d'un titre à taux fixe face à une forte hausse des taux tend à être supérieure à la perte estimée par la duration modifiée."( ) Vrai ( ) Faux8) (Inédite - style CEBRASPE, juger l'énoncé) Jugez l'énoncé : "La duration d'un portefeuille de titres à revenu fixe peut être obtenue en calculant la moyenne des durations des titres qui le composent, pondérée par la part de chaque titre dans la valeur du portefeuille."( ) Vrai ( ) FauxCorrigé1) A — Zéro coupon : un seul flux à l'échéance, donc le délai moyen pondéré est la durée elle-même. Duration = 3 ans, indépendamment du taux.2) A — Dmod = D/(1+i) = 5/1,10 = 4,545. Oublier la division par (1+i) conduit à la réponse B — l'erreur classique.3) A — ΔP% ≈ −Dmod × Δi = −6 × 0,5 = −3,0%. Signe négatif : le taux monte, le prix baisse (la balançoire du cours 4, désormais quantifiée).4) A — Pondérations : 90,91/1.000 = 9,09% pour l'année 1 et 909,09/1.000 = 90,91% pour l'année 2. D = 1 × 0,0909 + 2 × 0,9091 = 1,909 an. Inférieure à l'échéance de 2 ans, comme pour tout titre à coupon.5) A — Des coupons plus élevés remboursent davantage d'argent plus tôt et rapprochent le centre de gravité : la duration diminue. Une échéance plus longue augmente la duration (la réponse D inverse la relation), et l'égalité duration = échéance ne vaut que pour les zéros coupon (réponse E).6) A — Immunisation = faire coïncider la duration du portefeuille avec l'horizon du passif (8 ans) : le risque de prix et le risque de réinvestissement se compensent. Minimiser la duration (réponse B) protège le prix, mais expose pleinement au risque de réinvestissement.7) Faux — C'est l'inverse : la convexité fait baisser le prix réel MOINS que ne le prévoit la droite de la duration lorsque les taux montent (et le fait monter davantage lorsqu'ils baissent). La courbure joue en faveur de l'investisseur.8) Vrai — La duration d'un portefeuille est la moyenne pondérée (par la valeur de marché des positions) des durations individuelles — c'est exactement ainsi que les salles de marché résument le risque de taux d'un portefeuille entier en un seul chiffre.
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