Modelagem Matemática: Regressão Logística no Excel

Modelagem matemática é o processo de usar fórmulas e equações para representar situações do mundo real. Ela nos ajuda a prever resultados, entender relações entre variáveis e tomar decisões informadas.

A Regressão Logística é uma técnica estatística usada para prever resultados binários (sim/não, 0/1) com base em uma ou mais variáveis independentes. Diferente da regressão linear, que prevê valores contínuos, a regressão logística prevê probabilidades de um evento ocorrer.

A ideia central é modelar a probabilidade de um evento acontecer usando a função logística (também chamada de sigmoide). A função logística mapeia qualquer valor real para um valor entre 0 e 1, que pode ser interpretado como uma probabilidade.

A equação da regressão logística é:

$$P(Y=1)=\frac{1}{1+e^{-(aX+b)}}$$

Onde:

- $P(Y=1)$: Probabilidade de o evento acontecer.

- $X$: Variável independente (o fator que influencia).

- $a$: Coeficiente que indica o impacto de $X$ na probabilidade.

- $b$: Intercepto.

- $e$: Número de Euler (aproximadamente 2,71828).

Quando Usar?

- Quando você quer prever um resultado binário (ex.: se um cliente vai comprar ou não, se um paciente tem uma doença ou não).

- Quando a variável dependente é categórica com duas classes (0 ou 1).

No Excel, não há uma função nativa para regressão logística, mas podemos usar o Solver para ajustar o modelo. O Solver é uma ferramenta de otimização que ajusta os coeficientes $a$ e $b$ para maximizar a verossimilhança dos dados.

A log-verossimilhança é a melhor forma de avaliar o ajuste do modelo porque mede a probabilidade de observar os dados reais sob os parâmetros do modelo. Diferente do erro quadrático médio, que pode não ser adequado para variáveis binárias, a log-verossimilhança reflete a adequação do modelo considerando distribuições estatísticas apropriadas, como a distribuição Bernoulli na regressão logística.

Passo a Passo no Excel

1. Organize os Dados

- Coloque os dados em colunas. Exemplo:

2. Defina a Função Logística

- Em uma coluna, calcule a probabilidade prevista usando a função logística:

$$P(Y=1)=\frac{1}{1+e^{-(aX+b)}}$$

- Use valores iniciais para $a$ e $b$ (ex.: $a=0$, $b=0$).

3. Calcule a Log-Verossimilhança

- A log-verossimilhança é uma medida de quão bem o modelo se ajusta aos dados. Ela é calculada como:

$$\text{Log-Verossimilhança}=\sum _{i=1}^n[Y_i\cdot \ln (P(Y_i=1))+(1-Y_i)\cdot \ln (1-P(Y_i=1))]$$

- O objetivo é maximizar essa função.

É recomendado somar um valor bem pequeno (0,0000001) dentro do LN para não dar erro na fórmula, afinal, LN(0) é indeterminado.

4. Use o Solver

- Vá para a aba Dados > Solver.

- Defina a célula da log-verossimilhança como Objetivo.

- Defina as células de $a$ e $b$ como Variáveis de Decisão.

- Configure o Solver para Maximizar a log-verossimilhança.

- Execute o Solver para ajustar os coeficientes $a$ e $b$.

O Solver segue um processo similar ao Monte Carlos, isto é, ele "testa" valores e caminha até encontrar o valor máximo (ou mínimo) mais adequado. É recomendado para processos não lineares utilizar do otimizador GRG Nonlinear (Generalized Reduced Gradient), no caso ao invés de ser 100% aleatório, ele segue um gradiente descendente para encontrar os melhores valores de A e B.

Devido a essa característica do otimizador, lembre-se de sempre começar nos pontos 0 e 0 para A e para B respectivamente. Também lembre-se que se o resultado for um B muito grande, provavelmente indica que a Regressão Logística está perfeita demais com diversas respostas possíveis.

5. Interprete os Resultados

- Os coeficientes $a$ e $b$ ajustados pelo Solver são usados para prever probabilidades.

- O coeficiente $a$ indica o impacto da variável $X$ na probabilidade do evento.

- O coeficiente $b$ é o intercepto, que representa a probabilidade quando $X=0$.

Dados

Resultados do Solver

- Coeficiente $a$: 0,228927774

- Coeficiente $b$: 5,059228074

Equação da Regressão Logística:

$$P(Y=1)=\frac{1}{1+e^{-(0,2\cdot X-5)}}$$

Previsão

- Para uma pessoa de 30 anos:

$$P(Y=1)=\frac{1}{1+e^{-(0,2\cdot 30-5)}}\approx 0,85$$

- Há 85% de chance de compra. Logo, por ser acima de 50%, é esperado que irá comprar.

Exercício 1: Compra de Produto

a) Qual é a equação da regressão logística?

b) Qual é a probabilidade de uma pessoa de 40 anos comprar o produto?

c) O que o coeficiente $a$ representa nesse contexto?

Exercício 2: Diagnóstico Médico

a) Qual é a equação da regressão logística?

b) Qual é a probabilidade de um paciente de 55 anos ter a doença?

c) O que o coeficiente $b$ representa nesse contexto?

Exercício 3: Inadimplência

a) Qual é a equação da regressão logística?

b) Qual é a probabilidade de um cliente com renda de R$ 3500 ser inadimplente?

c) O que o coeficiente $a$ representa nesse contexto?