단순선형회귀
귀하의 데이터
두 숫자는 공백, 쉼표, 세미콜론, 탭 가운데 무엇으로 나눠도 됩니다. 표 계산 프로그램이 붙여 넣는 대로 두세요. 뜻이 통하지 않는 줄은 건너뜁니다.
결과
그 점들에 맞는 직선
—
| x가 1 올라갈 때 y가 얼마나 움직이는지 | — |
| 직선이 세로축과 만나는 곳 | — |
| y의 움직임 가운데 직선이 설명하는 몫 | — |
| 둘 사이의 상관계수 | — |
| 쓰인 점의 수 | — |
왼쪽 상자에서 네 벌의 자료를 차례로 불러오고, 그림 대신 숫자를 보세요. 모두 같은 평균, 같은 퍼짐, 같은 상관계수, 같은 직선을 내놓고, 위에서 아래까지 소수 둘째 자리까지 맞아떨어집니다.
이제 그림을 보세요. 첫째는 직선 둘레의 평범한 점구름입니다. 둘째는 깔끔한 곡선이고, 직선이 설명할 자격이 없는 모양입니다. 셋째는 완벽한 직선에 점 하나만 멀리 떼어 놓은 것입니다. 넷째는 하나를 빼면 x가 전부 같은 자리에 있고, 그 외딴 점 하나가 기울기 전체를 혼자 정합니다.
Francis Anscombe가 1973년에 이 넷을 만든 것은 바로 이 점을 말하기 위해서였고, 그 말은 낡지 않았습니다. 요약은 요약일 뿐이고, 직선이 그 점들에 어울리는지 아는 유일한 방법은 직접 보는 것입니다.
숫자가 말해 주지 않는 것이 하나 더 있습니다. 점들을 지나는 직선은 한쪽이 다른 쪽의 원인인지에 대해 아무 말도 하지 않습니다. 이 표본에서 둘이 함께 움직였다고 말할 뿐이고, 그것은 훨씬 작은 주장입니다.
이 직선은 어떻게 구하나요?
최소제곱법으로 구합니다. 점과 직선 사이의 세로 거리 제곱을 모두 더한 값이 가장 작아지는 직선을 고릅니다. 기울기는 x와 y의 공동 퍼짐을 x의 퍼짐으로 나눈 값이고, 직선은 언제나 둘의 평균을 지납니다.
이것은 어떤 점 묶음에도 답을 하나 내놓습니다. 편리하면서 동시에 함정입니다. 거기에 직선이 어울리든 말든 답을 내놓기 때문입니다.
결정계수는 실제로 무엇을 말하나요?
y가 오르내리는 움직임 가운데 직선이 설명하는 몫입니다. 삼분의 이라면 직선이 변동의 삼분의 이를 설명하고 나머지는 다른 무언가가 설명한다는 뜻입니다.
모양이 맞는지에 대해서는 아무 말도 하지 않습니다. 왼쪽 상자에서 불러오는 네 벌의 자료가 모두 같은 삼분의 이에 떨어지지만, 그중 직선이 어울리는 것은 하나뿐입니다.
예시로 든 네 벌의 자료가 왜 중요한가요?
평균도 퍼짐도 상관계수도 직선도 같고 소수 둘째 자리까지 맞아떨어지는데, 생김새는 전혀 닮지 않았기 때문입니다. 하나는 평범한 점구름, 하나는 깔끔한 곡선, 하나는 완벽한 직선에 점 하나만 멀리 떨어진 것, 하나는 똑같은 x가 늘어선 기둥에 기울기를 혼자 정하는 외딴 점 하나입니다.
Francis Anscombe가 1973년에 이것들을 만든 이유는, 요약된 숫자가 일치하는데도 자료 자체는 완전히 다를 수 있음을 보이기 위해서였습니다. 차례로 불러오며 표는 그대로인데 그림만 바뀌는 것을 보세요.
잘 맞으면 한쪽이 다른 쪽의 원인이라는 뜻인가요?
아닙니다. 점들을 지나는 직선은 이 표본에서 둘이 함께 움직였다고 말할 뿐이고, 한쪽이 다른 쪽의 원인이라는 주장보다 훨씬 작습니다.
제3의 무언가가 둘 다를 움직였을 수도, 방향이 반대일 수도, 점이 적으면 우연일 수도 있습니다. 이 페이지의 산수는 그것들을 구별하지 못하고, 다른 어떤 산수도 못 합니다.
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