Normale, binomiale e Poisson, e il prezzo di scambiarne una con l'altra

Una distribuzione normale

Un conteggio su un numero fisso di tentativi

Le code qui calcola le code qui: le code... Le code delle distribuzioni qui è calcolato direttamente dalla funzione errore complementare e non come uno meno l'altro, ed è questo che impedisce a quattro o cinque deviazioni di ridursi a uno zero arrotondato.

Risultati

A quante deviazioni dalla media si trova—
Probabilità di cadere sotto—
Probabilità di cadere sopra—

Il conteggio, esatto e approssimato

Probabilità esatta di quel conteggio o meno—
Probabilità esatta di esattamente quel conteggio—
Curva normale, senza correzione di continuità—
Di quanto sbaglia, in percentuale—
Curva normale, con la correzione—
Di quanto sbaglia, in percentuale—
Poisson, con la media posta allo stesso valore—
Di quanto sbaglia, in percentuale—

La regola che tutti imparano è che una curva normale sostituisce un conteggio quando il conteggio medio arriva a cinque. Esattamente a quel confine, con venti tentativi al venticinque su cento, la risposta esatta è 0,091260 e la curva senza correzione dice 0,060668. Sbaglia di un terzo proprio nel punto in cui è stata dichiarata sicura.

La correzione di continuità non è un affinamento, è la maggior parte della precisione. Aggiungere mezza unità prima di leggere la curva trasforma un errore di meno trentatré per cento in più sette virgola otto, sugli stessi numeri e senza informazioni in più. Chi usa l'approssimazione senza di essa sceglie di sbagliare più di quanto costi l'approssimazione stessa.

Dove l'approssimazione diventa onesta

Numero di tentativiConteggio medioEsattaErrore della curva corretta, in percentuale

Ogni riga fa la stessa domanda tre conteggi sotto la media, così il confronto resta equo mentre il numero di tentativi cresce. L'errore scende da circa otto per cento a circa mezzo, che è la forma vera della regola: non una soglia che si supera, ma un pendio che si scende.

La terza riga dei risultati è un'altra approssimazione, con un'altra debolezza. Poisson sostituisce un conteggio quando la probabilità di ogni tentativo è piccola, non quando il numero di tentativi è grande: al venticinque su cento sbaglia di trentasei per cento, e all'uno su cento su mille tentativi sbaglia di un terzo di uno.

Quindi non esiste un'approssimazione semplicemente migliore. Una richiede molti tentativi e l'altra una probabilità piccola, e la risposta esatta non richiede né l'una né l'altra: per questo la pagina la calcola invece di ricorrere a una curva.

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Quando posso usare una curva normale invece di contare esattamente?

La regola che tutti imparano è che il conteggio medio deve arrivare a cinque. Esattamente a quel confine la curva senza correzione sbaglia di un terzo, cosa strana da permettere per una soglia.

La tabella mostra cosa succede davvero al crescere del numero di tentativi. L'errore cala gradualmente invece di spegnersi a una linea, quindi la lettura onesta è un pendio e non una soglia.

Numero di tentativiConteggio medioErrore della curva corretta, in percentuale
205,0+7,77
5012,5-2,05
10025,0-1,58
20050,0-1,23
500125,0-0,78
1000250,0-0,54
Cos'è la correzione di continuità, e conta?

È aggiungere mezza unità prima di leggere la curva, perché un conteggio cade su numeri interi e una curva no. Non costa nulla ed è la maggior parte della precisione.

Sui numeri da cui questa pagina parte trasforma un errore di meno trentatré per cento in più sette virgola otto. Usare l'approssimazione senza di essa è scegliere di sbagliare più di quanto costi l'approssimazione stessa.

Quando è Poisson l'approssimazione giusta?

Quando la probabilità di ogni tentativo è piccola, che è una condizione diversa dall'avere molti tentativi. Al venticinque su cento sbaglia di trentasei per cento, per quanti tentativi ci siano.

Prendi gli stessi mille tentativi all'uno su cento e l'errore scende a un terzo di uno per cento. Le due approssimazioni sbagliano in direzioni diverse, ed è per questo che nessuna è semplicemente migliore.

Perché calcolare la risposta esatta, in fondo?

Perché ora costa poco. Le approssimazioni esistono perché sommare i termini a mano era la parte cara, e questo non è più vero da molto tempo.

Questa pagina li somma in logaritmi, un termine alla volta, così che mille tentativi non richiedano mai un numero troppo grande da contenere. Le approssimazioni restano a schermo per mostrare quanto costano, non perché servano.