La leçon 11 s’est achevée sur une promesse en suspens : si la diversification élimine gratuitement le risque spécifique, le marché ne rémunère que le risque systématique. Très bien — mais combien rémunère-t-il ? Comment transformer cette phrase en chiffre ?Aujourd’hui, la promesse se concrétise. Nous allons découvrir la frontière efficiente de Markowitz, présenter le bêta — le chiffre qui mesure la dose de risque systématique de chaque action — et parvenir au CAPM (Capital Asset Pricing Model), la formule la plus utilisée (et la plus débattue) de la finance moderne. À la fin, ce taux k apparu mystérieusement dans le modèle de Gordon de la leçon 10 aura enfin un père, une mère et un acte de naissance.1. La frontière efficiente : le menu des meilleurs mondesPrenez toutes les combinaisons possibles d’actifs risqués — une infinité de portefeuilles, chacun caractérisé par son couple risque (σ) × rendement attendu. Reportées sur un graphique, elles forment une zone. Markowitz a compris qu’à l’intérieur de cette zone, la plupart des portefeuilles sont tout simplement de mauvais choix : pour un même risque, il en existe un autre offrant un rendement supérieur ; pour un même rendement, il en existe un autre moins risqué. On dit que ces portefeuilles sont dominés.Après avoir écarté les portefeuilles dominés, il reste la limite supérieure de la zone : la frontière efficiente — l’ensemble des portefeuilles qui offrent le rendement attendu maximal pour chaque niveau de risque. Un investisseur rationnel choisit toujours un portefeuille situé sur cette frontière ; le point choisi dépend uniquement de son appétit pour le risque.Et que se passe-t-il lorsque nous ajoutons au menu l’actif sans risque (notre vieille connaissance : le titre public — leçons 3 à 5) ? La magie opère : combiner l’actif sans risque avec un unique portefeuille spécial de la frontière (le portefeuille tangent, que la théorie assimile au portefeuille de marché — en pratique, l’indice large) permet de dépasser toutes les autres combinaisons. Conclusion puissante : l’investisseur n’a pas besoin de choisir ses actions une par une — il lui suffit de choisir le dosage : quelle part investir sur le marché diversifié, et quelle part au taux sans risque.Dans la théorie de Markowitz, un portefeuille est considéré comme efficient lorsqu’il...Réponse : Offre le rendement attendu le plus élevé possible pour son niveau de risque — (ou, ce qui revient au même : le risque le plus faible pour son rendement). Les portefeuilles situés en dehors de la frontière sont dominés : il existe toujours quelqu’un qui offre davantage pour moins cher. L’efficience ne signifie pas l’absence de risque — elle signifie l’absence de gaspillage.2. Le bêta : le compteur de vitesse du risque systématiqueSi l’investisseur diversifié ne supporte plus que le risque systématique, la question pertinente à propos d’une action n’est plus « combien bouge-t-elle ? » (σ, le risque total), mais « combien bouge-t-elle AVEC le marché ? ». C’est le bêta (β) : la sensibilité du rendement de l’action aux mouvements du portefeuille de marché (techniquement, la covariance de l’action avec le marché divisée par la variance du marché — en pratique, la pente de la droite reliant les rendements de l’action à ceux de l’indice).Le mode d’emploi :β = 1 : l’action tend à suivre le marché. L’Ibovespa monte de 10 %, elle a tendance à monter d’environ 10 %.β > 1 : amplificatrice (agressive). Un β de 1,6 tend à transformer une hausse de 10 % du marché en hausse de 16 % — et une baisse de 10 % en baisse de 16 %. Typique des valeurs cycliques : distribution discrétionnaire, entreprises de construction, compagnies aériennes (bonjour, commandant Túlio de la leçon 11 !).β < 1 : défensive. Un β de 0,5 amortit les mouvements : l’action tend à monter et à baisser deux fois moins que le marché. Typique des utilities (énergie, services d’assainissement) et des entreprises dont la demande est stable.β ≈ 0 : elle évolue indépendamment du marché — c’est le cas de l’actif sans risque lui-même. (Un β négatif, celui d’un actif qui monte quand tout baisse, est une rareté précieuse — certains instruments de couverture s’en approchent.)Remarquez le divorce conceptuel : une junior minière peut afficher un σ très élevé (un risque total énorme), mais si une grande partie de ce risque est SPÉCIFIQUE — et que l’investisseur diversifié peut l’éliminer gratuitement — son β peut rester modeste. La volatilité mesure le risque de celui qui se concentre ; le bêta mesure le risque de celui qui se diversifie.Une action possède un bêta égal à 1,5. Lors d’une séance où le marché progresse de 2 %, selon son bêta, cette action devrait enregistrer une hausse d’environ...Réponse : 3,0 % — le bêta est le multiplicateur de la variation du marché : 1,5 × 2 % = 3 %. Et l’inverse est également vrai : lors d’une baisse de 2 %, l’anticipation est de −3 %. Le bêta amplifie dans les deux sens — il n’existe pas d’amplificateur réservé aux bonnes nouvelles.3. Le CAPM : la formule qui évalue le risqueRassemblons les pièces du puzzle : (1) seul le risque systématique est rémunéré ; (2) le bêta mesure la dose de risque systématique. La conclusion s’impose d’elle-même : le rendement exigé d’un actif doit être égal au taux sans risque augmenté d’une prime proportionnelle à son bêta :E[R] = Rf + β × (E[Rm] − Rf)Dans cette formule, Rf désigne le taux sans risque, E[Rm] le rendement attendu du portefeuille de marché, et la différence (E[Rm] − Rf) la prime de risque du marché — ce que le marché rémunère, au-delà du taux sans risque, ceux qui acceptent de porter l’intégralité du risque systématique (β = 1).3.1 Exemple résolu — et retour au modèle de GordonSupposons un Rf = 10 % par an (le segment long de notre courbe des taux) et une prime de marché de 6 % par an :Action agressive, β = 1,2 : E[R] = 10 % + 1,2 × 6 % = 17,2 %Action défensive, β = 0,6 : E[R] = 10 % + 0,6 × 6 % = 13,6 %Et regardez qui fait son apparition : dans la leçon 10, nous avions actualisé Elétrica Luz do Sul à k = 14 % « parce que le risque de l’activité le justifiait ». À présent, le calcul s’explique de l’intérieur : une utility défensive avec β ≈ 0,67 donne k = 10 % + 0,67 × 6 % ≈ 14 %. Le k du modèle de Gordon est l’E[R] du CAPM — l’évaluation financière et la théorie des portefeuilles sont le même édifice, observé depuis deux portes différentes. C’est également ainsi que les entreprises estiment leur coût des capitaux propres : le seuil minimal que les projets et les acquisitions doivent dépasser pour créer de la valeur.3.2 La SML et l’alpha : la règle pour distinguer le bon marché du cherLe CAPM trace une droite — la SML (Security Market Line) — sur le graphique rendement attendu × bêta : elle part de Rf (β = 0) et passe par le portefeuille de marché (β = 1). C’est la règle du rendement juste : pour chaque bêta, le rendement qu’exige le risque systématique.Et les actifs situés en dehors de cette droite ? Si votre analyse (un modèle de Gordon bien construit, par exemple) prévoit pour une action un rendement supérieur à celui qu’exige la SML pour son bêta, cette différence est l’alpha (α) : un rendement supplémentaire que le risque n’explique pas — la signature d’une action bon marché (ou d’un gérant talentueux). En dessous de la droite, l’alpha est négatif : le rendement est insuffisant au regard du risque, l’action est chère. À l’équilibre du CAPM, les alphas devraient être nuls ; les traquer est le métier de la gestion active.Avec un taux sans risque de 10 % par an et une prime de risque du marché de 6 % par an, selon le CAPM, le rendement exigé d’une action dont le bêta est égal à 1,5 est de...Réponse : 19,0 % — E[R] = 10 % + 1,5 × 6 % = 19 %. La réponse à 24 % multiplie le bêta par le rendement total du marché (1,5 × 16 %) au lieu de le multiplier uniquement par la prime — l’erreur de calcul la plus fréquemment testée sur le CAPM.Selon le CAPM, la prime de rendement exigée d’une action est proportionnelle à son risque...Réponse : Systématique, mesuré par le bêta — le marché ne rémunère pas le risque que l’investisseur peut éliminer gratuitement par la diversification (le risque spécifique). C’est la thèse centrale qui relie les leçons 11 et 12 : σ mesure le risque total ; β mesure le risque rémunéré.4. Le CAPM au banc des accusés : usages et limitesUn peu d’honnêteté intellectuelle pour conclure ce chapitre. Le CAPM est omniprésent — coût du capital des entreprises, évaluation des fonds, rapports d’évaluation, arbitrages réglementaires — parce qu’il est simple, logique et structurant. Mais il fait aussi l’objet de plusieurs décennies de critiques empiriques : les bêtas varient dans le temps, la prime de marché est difficile à estimer, et des anomalies documentées (taille, valeur, momentum) suggèrent qu’un seul facteur ne suffit pas à raconter toute l’histoire — d’où les modèles multifactoriels qui abondent dans la recherche moderne.L’attitude professionnelle mature consiste à utiliser le CAPM comme point de départ structuré — un langage commun pour discuter du risque et du rendement — et jamais comme un oracle. Exactement comme pour le modèle de Gordon : la valeur du modèle réside moins dans le chiffre final que dans les hypothèses qu’il oblige à expliciter.“Tous les modèles sont faux, mais certains sont utiles.”- George Box, statisticien5. Tout relier — et conclure sur les actionsL’essentiel de la leçon :La frontière efficiente rassemble les portefeuilles non dominés : rendement maximal pour chaque niveau de risque. Avec l’actif sans risque, la décision revient à doser entre taux sans risque et marché diversifié.Le bêta mesure le risque systématique : β = 1 suit le marché ; β > 1 amplifie (valeurs cycliques) ; β < 1 amortit (valeurs défensives). σ est le risque de celui qui se concentre ; β, celui de celui qui se diversifie.CAPM : E[R] = Rf + β × prime de marché — le prix du risque systématique, à l’origine du k du modèle de Gordon et du coût des capitaux propres des entreprises.La SML est la règle du rendement juste associé à chaque bêta ; l’alpha mesure l’écart par rapport à cette droite — le trophée de la gestion active et le signal indiquant qu’un actif est bon marché ou cher.Le CAPM est une boussole, pas un oracle : partez de lui, explicitez vos hypothèses et connaissez ses limites.Nous en avons ainsi terminé avec les actions : nous savons ce qu’est une action (leçon 9), combien elle vaut (leçon 10) et comment s’équilibrent risque et rendement (leçons 11–12). Au prochain cours, le dernier continent du programme : les produits dérivés et les marchés à terme — où l’on n’achète pas l’actif, mais l’ENGAGEMENT sur cet actif, et où exportateurs, spéculateurs et trésoriers jouent la partie d’échecs la plus rapide des marchés.Exercice à discuter en classeLes trois candidates. Réfléchissons ensemble.Votre société de gestion utilise un Rf = 10 % et une prime de marché = 5 % par an. L’équipe d’analyse a projeté les rendements de trois actions (à l’aide des modèles de la leçon 10) et relevé leurs bêtas :Defensora S.A. (assainissement) : β = 0,5 ; rendement projeté = 14 % par anMediana S.A. (consommation) : β = 1,0 ; rendement projeté = 15 % par anTurbina S.A. (construction) : β = 1,6 ; rendement projeté = 21 % par anDiscutez avec votre groupe :(a) Calculez, à l’aide de la SML, le rendement EXIGÉ de chacune. Puis calculez l’alpha (rendement projeté − rendement exigé). Lesquelles sont bon marché selon la règle du CAPM ?(b) Turbina possède l’alpha le plus élevé ET le rendement projeté le plus élevé. Cela suffit-il à clore le débat en sa faveur ? Que promet un bêta de 1,6 pour une année au cours de laquelle le marché baisse de 10 % ? (Estimez le rendement de chaque action dans ce scénario à partir du Rf et des bêtas.)(c) Le comité a un mandat conservateur : une perte supérieure à 10 % sur une année est inacceptable pour le client. Comment cela modifie-t-il le choix — et que nous apprend cette situation sur le rapport entre alpha et adéquation ?(d) Un analyste débutant affirme : « Defensora a le rendement projeté le plus faible, à écarter. » Un autre lui répond : « Par unité de risque systématique, c’est le meilleur achat. » Qui a raison, et pourquoi ?(e) Quelles fragilités des HYPOTHÈSES (projections de la leçon 10, bêtas estimés, prime de 5 %) pourraient remettre en cause les conclusions ? Comment vous prémuniriez-vous contre ces risques ?Indications pour l'enseignant : (a) Rendements requis : Defensora 10 + 0,5×5 = 12,5%; Mediana 10 + 1×5 = 15%; Turbina 10 + 1,6×5 = 18%. Alphas : +1,5 p.p., 0 et +3 p.p. — Defensora et Turbina sont au-dessus de la SML (sous-évaluées) ; Mediana se situe sur la ligne, à son juste prix. (b) Cela ne clôt pas le débat : avec un marché en baisse de 10% (rendement du marché −10%, prime réalisée de −20 p.p.), l'anticipation fondée sur le CAPM est de 10 + β×(−20) : Defensora ≈ 0% ; Mediana ≈ −10% ; Turbina ≈ −22% — l'alpha supérieur s'accompagne d'une exposition systématique deux fois plus importante. (c) Avec une limite de perte de −10%, Turbina enfreint le mandat dans des scénarios plausibles : le choix se porte alors sur Defensora (alpha positif ET profil compatible) — l'alpha est souhaitable, l'adéquation est obligatoire ; sans adéquation, le client vend au plus bas et transforme le risque en perte réalisée (en écho aux cours 4 et 8). (d) La deuxième : le rendement absolu ignore le prix du risque ; le ratio alpha/bêta de Defensora (1,5/0,5 = 3 d'alpha par unité de bêta) est le double de celui de Turbina (3/1,6 ≈ 1,9) — écarter une action en fonction de son rendement brut revient à comparer des coureurs sans regarder la distance de l'épreuve. (e) Des alphas de +1,5 à +3 p.p. peuvent tenir dans la marge d'erreur des projections de Gordon (le cours 10 l'a montré : 1 p.p. de variation de g fait évoluer la valeur de deux chiffres), les bêtas historiques changent et la prime de 5% est une estimation contestable — protections : analyse de sensibilité, marge de sécurité minimale avant d'agir, diversification entre les thèses plutôt que de miser all-in sur la plus élevée. Conclusion : le CAPM a structuré la discussion — il ne l'a pas close ; c'est précisément son rôle.Exercices1) (Inédit - style CESGRANRIO) Considérons un taux sans risque de 8% par an et un rendement attendu du portefeuille de marché de 14% par an. Selon le CAPM, le rendement requis d'une action dont le bêta est égal à 1,25 est de :A) 15,5%.B) 17,5%.C) 14,0%.D) 10,0%.E) 22,0%.2) (Inédit - style CESGRANRIO) Une action affiche un rendement requis de 18% par an sur un marché où le taux sans risque est de 10% par an et la prime de risque du marché de 5% par an. Selon le CAPM, le bêta de cette action est de :A) 1,6.B) 0,8.C) 1,8.D) 2,25.E) 1,0.3) (Inédit - style CESGRANRIO) Selon le CAPM, un actif dont le bêta est égal à zéro doit offrir un rendement attendu égal :A) au taux sans risque.B) à zéro.C) au rendement du portefeuille de marché.D) à la prime de risque du marché.E) au double du taux sans risque.4) (Inédit - style CESGRANRIO) Le bêta du portefeuille de marché lui-même est, par définition, égal à :A) 1.B) 0.C) −1.D) à son écart-type.E) au taux sans risque.5) (Inédit - style FGV) Dans la théorie des portefeuilles de Markowitz, la frontière efficiente est composée des portefeuilles qui :A) maximisent le rendement attendu pour chaque niveau de risque et ne sont dominés par aucune autre combinaison.B) éliminent intégralement le risque systématique grâce à la diversification.C) affichent le rendement attendu le plus faible de l'ensemble des possibilités.D) contiennent exclusivement l'actif sans risque.E) présentent une corrélation égale à +1 entre tous leurs actifs.6) (Inédit - style FGV) Les actions des entreprises d'électricité et d'assainissement présentent généralement un bêta inférieur à 1. Cela indique que ces actions ont tendance à :A) fluctuer moins que le marché, en amortissant aussi bien les hausses que les baisses de l'indice.B) fluctuer davantage que le marché, en amplifiant ses mouvements.C) toujours rapporter davantage que le portefeuille de marché.D) être immunisées contre les récessions et les crises systémiques.E) présenter un risque spécifique nul.7) (Inédit - style CEBRASPE, juger l'énoncé) Jugez l'énoncé : "Selon le CAPM, la prime de rendement requise d'une action est proportionnelle à son risque total, mesuré par l'écart-type des rendements, puisque les investisseurs exigent une compensation pour toute la volatilité qu'ils supportent."( ) Vrai ( ) Faux8) (Inédit - style CEBRASPE, juger l'énoncé) Jugez l'énoncé : "Dans le cadre du CAPM, un actif dont le rendement projeté se situe au-dessus de la Security Market Line présente un alpha positif, ce qui suggère un rendement supérieur à celui qui est requis pour son niveau de risque systématique."( ) Vrai ( ) FauxCorrigé1) A — Prime = 14% − 8% = 6% ; E[R] = 8% + 1,25 × 6% = 15,5%. La réponse B (17,5%) multiplie le bêta par le rendement du marché (1,25 × 14%) au lieu de le multiplier par la prime — l'erreur classique du CAPM.2) A — β = (18% − 10%) / 5% = 8/5 = 1,6. C'est le CAPM lu à l'envers : la prime exigée de l'actif (8 p.p.) divisée par la prime de marché (5 p.p.).3) A — Avec β = 0, l'actif ne supporte aucun risque systématique — et le risque spécifique n'est pas rémunéré. Il reste exactement Rf : c'est le cas de l'actif sans risque lui-même.4) A — Le marché comparé à lui-même a une sensibilité de 1 : c'est la définition qui sert de référence à toute l'échelle du bêta.5) A — Efficience = absence de dominance : rendement maximal pour chaque niveau de risque (ou risque minimal pour chaque rendement). La frontière n'élimine pas le risque systématique (réponse B) — elle évite simplement de le gaspiller.6) A — β < 1 signifie un amortissement dans les deux sens : l'action monte moins lors des hausses et baisse moins lors des baisses. Une action défensive n'est pas immunisée (réponse D) : lors d'une crise systémique, elle baisse elle aussi — simplement moins.7) Faux — Le CAPM ne rémunère que le risque SYSTÉMATIQUE, mesuré par le bêta. Le risque total (σ) inclut le risque spécifique, que l'investisseur diversifié élimine gratuitement — et personne ne paie de prime pour ce qui peut être éliminé gratuitement.8) Vrai — Au-dessus de la SML = rendement projeté supérieur au rendement requis pour ce bêta = alpha positif, signe qu'une action est sous-évaluée (ou que la projection est excessivement optimiste — les deux interprétations doivent être envisagées ensemble).
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