Valores da distribuição normal a partir de probabilidades

Como dito na aula passada, para descobrirmos as probabilidades de algo normalmente distribuído ocorrer, basta transformar os dados em uma distribuição normal reduzida, onde esta já é estudada pela tabela abaixo:

A transformação é dada pela seguinte fórmula:

$$z=\frac{x-\overline{x}}{\sigma }$$

Porém, algumas vezes, queremos saber o que acontece com probabilidade X. Para calcular valores a partir de probabilidades, utilizamos os seguintes passos:

- Lembrar que porcentagem ou probabilidades são áreas do gráfico, e não valores de z

- A leitura da tabela é invertida (pela área descobre-se)

- Escolher o lado correto do gráfico (os maiores tempos estão do lado direito)

- Aplicar a variação da fórmula de padronização

A variação da fórmula de padronização consiste:

$$z=\frac{x-\overline{x}}{\sigma }$$

$$z\ast \sigma =x-\overline{x}$$

$$x=\overline{x}+z·\sigma$$

Em outras palavras, desvio padrão e a média, pode-se calcular qualquer valor para uma dada probabilidade, já que por esta descobre-se Z.

Exemplos

Considera-se uma fábrica que os trabalhadores levam em média 75 minutos para completar uma tarefa com 6 minutos de desvio padrão. Quanto tempo separa os 10% mais rápidos dos 10% mais lentos?

Os 10% mais rápidos estão na parte esquerda do gráfico, se analisarmos, o Z dos 10% mais lento tem valor: -1,28

Os 10% mais lentos estão na parte direita do gráfico, se analisarmos, o z dos 10% mais rápidos tem valor: 1,28

Assim, calcule-se o tempo dos 10% mais rápidos:

$$x=\overline{x}+z·\sigma$$

$$x=75-1,28\ast 6=67.32$$

E dos 10% mais lentos:

$$x=\overline{x}+z·\sigma$$

$$x=75+1,28\ast 6=82.68$$

A diferença entre o tempo dos dois é:

$$\text{diferença }=82.68-67.32=15.36$$

Considera-se uma fábrica que os trabalhadores levam em média 75 minutos para completar uma tarefa com 6 minutos de desvio padrão. Quanto tempo leva no mínimo os 5% mais rápidos?

Os 5% mais lentos estão na parte direita do gráfico, se analisarmos, o z dos 5% mais rápidos tem valor: 1,65

Assim, calcule-se o tempo mínimo dos 5% mais rápido:

$$x=\overline{x}+z·\sigma$$

$$x=75+1,65·6=84.9$$

Já foi discutido que a distribuição normal é simétrica. Muitas vezes é explorada essa característica:

- Mais ricos ou mais pobres

- Mais rápidos ou mais lentos

- Mais altos ou mais baixo

Fica um alerta: em exercícios em que há uma dualidade, lembre-se que cada dualidade representa 50% da distribuição.

Exemplos

Considera-se uma fábrica que os trabalhadores levam em média 75 minutos para completar uma tarefa com 6 minutos de desvio padrão. Qual o tempo que separa os 10% entre os mais rápidos dos 10% entre os mais lentos?

Neste caso, 10% entre os mais rápidos, que são 50% da distribuição, significa 5% da distribuição na parte direita. Enquanto, 10% entre os mais lentos, que são 50% da distribuição, significa 5% da distribuição na parte esquerda.

O z dos 5% mais rápidos tem valor: 1,65

$$x=\overline{x}+z·\sigma$$

$$x=75+1,65·6=84.9$$

O z dos 5% mais lentos tem valor: -1,65

$$x=\overline{x}+z·\sigma$$

$$x=75-1,65·6=65.1$$

A diferença:

$$\text{diferença }=84.9-65.1=19.8$$

1) 6,7 minutos

2) 9,34 minutos

3) 6,68%; 22,66%; 53,28%;

4) pequeno < 4,1kg < médio < 5,4 kg < grande < 5,9 kg < extra

5) 15,9%; 95%;

6) Tipo A -> 2,28% e lucro médio de R$1115,64; Tipo B -> 4,75% e lucro médio de R$1667,75

7) 99,993%; 97,59%; garantia de 135650 km.

8) 23%;

9) 6,68%; 38,29%;

10) 14,1 miliamperes;

11) 91,92%

12) 5,2%