Medidas de dispersão: variância e desvio padrão

Ao escutar o áudio de corações diferentes percebe-se que, sabendo a posição da quantidade de batimentos cardíacos por minuto, podemos determinar a idade do dono do coração. Ter um posicionamento dentro do seu conjunto de dados é importante, mas algumas vezes não é o único dado a se analisar. Ao verificar se um paciente tem problemas cardíacos procura-se, além do número de batimentos por minuto, seu ritmo no electrocardiograma. No caso, estuda-se o ritmo do coração, se ele muda bastante de passo ou não, em outras palavras, o quanto dispersos estão os batimentos comparados com a média. Repare na diferença entre os seguintes áudios:

Você sabe dizer qual coração tem arritmia?

Vamos para outro exemplo, vamos estudar as seguintes séries:

X: 70, 70, 70, 70, 70

Y: 68,69, 70, 71, 72

Z: 0, 10, 70, 110, 160

A média aritmética para cada série é 70, apenas a série X tem moda, e a mediana das 3 é 70. Apesar disso, notoriamente, as três são bem diferentes.

Chama-se dispersão ou variabilidade a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central tomado como ponto de comparação. No caso do exemplo, X tem dispersão nula, enquanto Y tem uma dispersão menor que Z.

Como índices de variabilidade estável, são utilizados a variância e o desvio padrão.

A variância baseia-se nos desvios em torno da média aritmética, porém determinando a média aritmética dos quadrados dos desvios. Assim, é representada por s²:

$$s^2=\frac{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2}{\sum f_i}$$

Sendo a variância calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um número em unidade quadrada em relação à variável em questão, o que, sob o ponto de vista prático, é um inconveniente; imaginou-se uma nova medida que tem utilidade e interpretação prática, denominada desvio padrão, definida como a raiz quadrada da variância:

$$s=\sqrt{s^2}$$

Propriedades

1º: O desvio padrão é sempre positivo ou nulo. O desvio padrão de uma constante é nulo.

2º: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de uma variável, o desvio padrão continuará o mesmo, uma propriedade chamada invariante por translação.

3º: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante c, o desvio padrão fica multiplicado (ou dividido) por essa constante.

Desvio para dados não-agrupados

Toma-se como exemplo a seguinte série da variável x:

X: 40, 45, 48, 52, 54, 62, 70

O modo mais prático para calcular o desvio padrão seria criar uma tabela dos dados e seus quadrados:

$$\text{Somatório dos desvios ao quadrado: }=630$$

$$\text{Número de elementos na amostra: }=7$$

$$\text{variância }=\frac{630}{7}=90$$

$$\text{desvio-padrão }=\sqrt{90}=9,49$$

Desvio para dados agrupados: sem intervalos de classe

Como para este caso temos a presença de frequências devemos levá-las em consideração, multiplicando o quadrado do desvio pela frequência, resultando na fórmula:

$$s^2=\frac{\sum f_i\ast (x_i-\overline{x}{)}^2}{\sum f_i}$$

Como exemplo:

$$\text{Somatório dos desvios ao quadrado: }=32.7$$

$$\text{Número de elementos na amostra: }=30$$

$$\text{variância }=\frac{32.7}{30}=1,09$$

$$\text{desvio-padrão }=\sqrt{1,09}=1,044$$

Desvio para dados agrupados: com intervalos de classe

Para intervalos de classe considera-se o ponto médio como o valor daquela classe.

Como exemplo:

$$\text{Somatório dos desvios ao quadrado: }=80$$

$$\text{Número de elementos na amostra: }=10$$

$$\text{variância }=\frac{80}{10}=8$$

$$\text{desvio-padrão }=\sqrt{8}=2,82$$

O desvio padrão por si só não nos diz muita coisa. Assim, um desvio padrão de duas unidades pode ser considerado pequeno para uma série de valores cujo valor médio é 200; no entanto, se a média for igual a 20, o mesmo não pode ser dito.

Além disso, o fato de o desvio padrão ser expresso na mesma unidade dos dados limita o seu emprego quando deseja-se comparar duas ou mais séries de valores, relativamente à sua dispersão ou variabilidade.

Para contornar essas difilcudades e limitações se utiliza o coeficiente de variação (CV):

$$\text{CV }=\frac{s}{\overline{x}}$$

Assim, para o último exemplo onde:

$$\text{desvio-padrão }=2,82$$

$$\text{média }=5$$

$$\text{CV }=\frac{2,82}{5}=0.564=56,4\mathrm{\%}$$

(a) 1,3,4,9;

(b) 20, 14, 15, 19, 21, 22, 20;

(a) 17.9, 22.5, 13.3, 16.8, 15.4, 14.2;

(b) -10, -6, 2, 3, 7, 9, 10;

1) a. 2,94; b. 2,81;

2) a. 3,01; b. 7,03;

3) 1,51;

4) 0,159;

5) 8,03%

6) Estatística

7) Estatura

8) 5,41

9) 51,7