На уроке 4 вы познакомились с качелями: доходность растёт — цена падает. И увидели, что срок усиливает эффект: LTN на 5 лет подешевела на 8,5% при том же шоке, при котором LTN на 1 год потеряла 1,8%. В воздухе повис вопрос на миллион долларов: можно ли одним числом предсказать, насколько будет колебаться облигация?Можно. Это число называется дюрацией, и, вероятно, это самый распространённый показатель среди управляющих инструментами с фиксированной доходностью во всём мире. На этом уроке вы научитесь рассчитывать дюрацию, использовать её для оценки убытков и прибыли за считаные секунды, а также познакомитесь с её встроенной поправкой — выпуклостью. Это самый математический урок курса на данный момент. Но именно он сильнее всего отделяет тех, кто действительно работает с инструментами фиксированной доходности, от тех, кто просто в них инвестирует.1. Правильный вопрос: каков ИСТИННЫЙ срок облигации?Начнём с головоломки. Срок погашения двух облигаций наступает ровно через 3 года:Облигация A — это LTN: она единовременно выплачивает R$ 1.000 в дату погашения.Облигация B выплачивает купоны по R$ 100 в конце каждого года, а в третий год возвращает R$ 1.100 (номинал + последний купон).Обе «погашаются через 3 года». Но одинаково ли они чувствительны к процентным ставкам? Нет! Облигация B возвращает часть ваших денег раньше, а деньги, возвращённые раньше, меньше времени остаются подвержены влиянию ставки. Сам по себе срок погашения вводит в заблуждение.[м]{Дюрация Маколея} исправляет это: это средний срок получения денежных потоков, взвешенный по текущей стоимости каждого из них. Вместо вопроса «когда облигация погашается?» она задаёт другой: «через сколько времени в среднем мои деньги вернутся домой?».Немедленное следствие, которое помогает решить половину экзаменационных задач: для бескупонных облигаций (таких как LTN) дюрация равна сроку погашения — все деньги возвращаются одной суммой в конце. Для купонных облигаций дюрация всегда меньше срока погашения.LTN (бескупонная облигация) погашается ровно через 4 года. Дюрация Маколея составляет...Правильный ответ: 4 года, то есть равна сроку, поскольку денежный поток приходится на дату погашения — при отсутствии промежуточных выплат средневзвешенный срок равен самому сроку погашения. Это равенство действует только для бескупонных облигаций.2. Расчёт дюрации МаколеяРассчитаем дюрацию облигации B: ежегодные купоны по R$ 100, возврат R$ 1.100 в третий год, рыночная ставка 12% годовых.Шаг 1 — текущая стоимость каждого денежного потока:Год 1: 100 / 1,12 = R$ 89,29Год 2: 100 / (1,12)² = R$ 79,72Год 3: 1.100 / (1,12)³ = R$ 782,96Цена облигации = сумма текущих стоимостей = R$ 951,96Шаг 2 — вес каждого денежного потока в цене:Год 1: 89,29 / 951,96 = 9,4%. Год 2: 79,72 / 951,96 = 8,4%. Год 3: 782,96 / 951,96 = 82,2%.Шаг 3 — средний срок, взвешенный по этим долям:D = 1 × 0,094 + 2 × 0,084 + 3 × 0,822 = 2,73 годаИнтерпретация: хотя облигация погашается через 3 года, «центр тяжести» денежных потоков находится на отметке 2,73 года. С точки зрения чувствительности к процентным ставкам это как будто LTN со сроком 2,73 года.3. Модифицированная дюрация: множитель ущербаДюрация Маколея измеряет срок. Чтобы превратить его в чувствительность цены, мы делим его на валовую ставку и получаем модифицированную дюрацию:Dmod = D / (1 + i)В нашем примере: Dmod = 2,73 / 1,12 = 2,44А теперь формула, которой управляющие пользуются весь день:Изменение цены в % ≈ − Dmod × изменение ставки (в процентных пунктах)Проверим: если ставка вырастет с 12% до 13% (+1 п.п.), цена облигации B снизится примерно на 2,44 × 1 = −2,44%.Проверим длинным способом: если пересчитать стоимость трёх денежных потоков по ставке 13%, цена снизится с R$ 951,96 до R$ 929,17 — падение составит −2,39%. Оценка по дюрации ошиблась на 0,05 процентного пункта. Неплохо для расчёта в уме — и совсем скоро мы поймём, откуда берётся эта небольшая разница.Вернёмся к уроку 4: для двухлетней LTN со ставкой 12% D = 2, а Dmod = 2/1,12 = 1,79. При шоке в +2 п.п. из того урока оценка даёт −3,57%; точное значение составило −3,48%. Расчёт сходится.Модифицированная дюрация облигации с дюрацией Маколея 5 лет, торгующейся по ставке 10% годовых. Если рыночная ставка вырастет на 1 процентный пункт, приблизительное падение цены, рассчитанное по модифицированной дюрации, составит...Правильный ответ: 4,55% — Dmod = 5/1,10 = 4,545; изменение ≈ −4,545 × 1 п.п. ≈ −4,55%. Вариант 5% не учитывает деление на (1+i): это дюрация Маколея, использованная вместо модифицированной, — самая распространённая ошибка.4. Что увеличивает и уменьшает дюрациюДюрацию любой облигации определяют три регулятора:Срок: чем дальше дата погашения, тем выше дюрация. (Главный регулятор.)Купон: чем ВЫШЕ купоны, тем НИЖЕ дюрация — больше денег возвращается раньше, поэтому центр тяжести смещается ближе. Поэтому NTN-B Principal (бескупонная облигация) чувствительнее, чем NTN-B с полугодовыми купонами при том же сроке погашения.Рыночная ставка: чем выше ставка, тем ниже дюрация — сильное дисконтирование уменьшает текущую стоимость отдалённых денежных потоков и притягивает центр тяжести ближе.Теперь у вас есть полный словарь для парадокса из урока 5: NTN-B 2060 так сильно колеблется, потому что сочетает очень длинный срок с небольшими купонами (или вовсе без них в случае Principal) — это рецепт максимальной дюрации на бразильском рынке.Две облигации имеют одного и того же эмитента, одинаковую ставку и одинаковый срок погашения — 10 лет. Облигация X выплачивает щедрые полугодовые купоны, а облигация Y — бескупонная. Какое утверждение о чувствительности к процентным ставкам верно?Правильный ответ: Y чувствительнее, поскольку её дюрация выше, чем у X — у бескупонной облигации дюрация = 10 лет; при щедрых купонах деньги возвращаются раньше, и дюрация заметно снижается. Одинаковый срок погашения НЕ означает одинаковый риск: это главный вывод урока.5. Выпуклость: кривизна, которая играет на вашей сторонеОткуда взялась разница между оценёнными −2,44% и фактическими −2,39%? Дюрация проводит касательную прямую к зависимости цены от ставки. Но настоящая зависимость представляет собой кривую — выпуклую, с изгибом вниз.Практическое следствие, и оно весьма элегантно: при больших изменениях ставки прямая дюрации завышает убытки и занижает прибыль. При росте ставки цена на самом деле падает МЕНЬШЕ, чем предсказывает дюрация, а при снижении ставки растёт БОЛЬШЕ, чем она предсказывает.Иными словами: выпуклость — друг инвестора. Если две облигации имеют одинаковую дюрацию, облигация с большей выпуклостью показывает лучший результат в обоих сценариях — поэтому рынок готов платить за неё немного больше. При небольших шоках (до ~1 п.п.) достаточно одной дюрации; при сильных управляющие добавляют поправку на выпуклость к оценке.Управляющий оценил по модифицированной дюрации падение цены облигации на 8% при сильном росте процентных ставок. С учётом эффекта выпуклости фактическое падение, скорее всего, будет...Правильный ответ: меньше 8%, поскольку кривая цены выпуклая — прямая дюрации завышает падение и занижает рост. При сильных шоках выпуклость всегда «возвращает» часть оценённого убытка.6. Практическое применение: иммунизация и управлениеДюрация — не просто термометр, а ещё и руль. На рынке доминируют два варианта применения:Иммунизация: тот, кому необходимо выполнить обязательство в определённую дату (например, выплатить R$ 10 миллионов через 5 лет), формирует портфель с дюрацией, равной горизонту обязательства. Так два противоположных риска взаимно компенсируются: если ставки растут, цена портфеля падает, но реинвестирование денежных потоков приносит больше; если ставки снижаются, цена растёт и компенсирует более низкую доходность реинвестирования. Идеальный пример — согласованная бескупонная облигация: LTN на 5 лет для обязательства через 5 лет устраняет проблему самой конструкцией. Такова логика пенсионных фондов — и Беатрис из урока 5.Активное управление: тот, кто ожидает снижения ставок, увеличивает дюрацию портфеля (больше длинных NTN-B и длинных облигаций с фиксированной ставкой), чтобы заработать на росте их стоимости; тот, кто ожидает повышения ставок, сокращает дюрацию (больше LFT и коротких бумаг). Дюрация портфеля — это просто среднее значение дюраций облигаций, взвешенное по стоимости каждой позиции — одно число, суммирующее риск миллионов, вложенных в разные облигации.“Дюрация — это руль рынка облигаций: она не меняет дорогу, по которой движутся ставки, но определяет, насколько сильно каждая неровность встряхнёт пассажира.”- Итоговое мнение управляющего7. Собираем всё вместеГлавное из урока:Дюрация Маколея — это средний срок денежных потоков, взвешенный по их текущей стоимости, то есть «центр тяжести» денег. Для бескупонных облигаций дюрация = срок; для купонных она всегда меньше.Модифицированная дюрация (D/(1+i)) превращает срок в показатель чувствительности: ΔP% ≈ −Dmod × Δставки.Дюрация растёт вместе со сроком и снижается при увеличении купонов и ставок.Выпуклость корректирует прямую дюрации: фактические убытки меньше, а фактическая прибыль больше линейной оценки — поэтому выпуклость желательна.Иммунизация согласует дюрацию портфеля со сроком обязательства; активное управление увеличивает дюрацию в ожидании снижения ставок и сокращает её в ожидании роста.На следующем уроке мы завершим блок о фиксированной доходности, собрав все элементы — переоценку по рынку, дюрацию и кривую — в стратегии и управление рисками: как профессионалы формируют, защищают и подвергают стресс-тестированию настоящий портфель инструментов с фиксированной доходностью.Задание для обсуждения в аудиторииСейф с заранее установленной датой. Давайте вместе разберёмся.Казначейству компании необходимо выплатить R$ 10 миллионов ровно через 5 лет (собственную дебентуру, срок погашения которой наступает в этот момент). Деньги уже есть и инвестированы. Три директора предлагают три стратегии:Директор A: «LFT. Никаких сюрпризов, следует за Selic, спим спокойно».Директор B: «LTN со сроком погашения 5 лет, согласованная с датой платежа. Фиксируем ставку сегодня и забываем об этом».Директор C: «NTN-B 2045, с дюрацией около 12 лет. В ближайшие годы ставки резко упадут; заработаем на росте стоимости и с запасом погасим долг».Обсудите в группе:(a) Какова приблизительная дюрация каждой стратегии? Какая из них обеспечивает иммунизацию обязательства на 5 лет?(b) Стратегия директора A кажется самой безопасной. Какой скрытый риск она несёт, если подумать о накопленной стоимости через 5 лет в случае, если Copom сократит Selic вдвое?(c) Если директор C окажется прав и ставки снизятся на 2 п.п., оцените (через дюрацию) прибыль по его позиции. А если он ошибётся и ставки вырастут на 2 п.п., что произойдёт со способностью выплатить долг?(d) Почему стратегию B называют иммунизацией «по конструкции»? Что делает её невосприимчивой и к росту, и к снижению ставок?(e) Существует ли сценарий, в котором выбор директора C можно обосновать для казначейства? Чем управление риском отличается от ставки?Указания преподавателю: (a) A: duration ≈ нулевая (ежедневно индексируется, существенная чувствительность цены отсутствует); B: duration = 5 (нулевой купон) = горизонт → иммунизация; C: duration ≈ 12, рассогласована на +7 лет. (b) Риск реинвестирования: LFT не фиксирует никакую ставку — если Selic упадет вдвое, накопленная за 5 лет сумма может оказаться ниже запланированной; защита от ценового риска не означает защиты целевого результата. (c) Прирост ≈ +2 × 12 = +24% (немного меньше с учетом более точного расчета, больше благодаря положительной выпуклости); в противоположном сценарии ≈ −24%: к 5-му году у компании может не оказаться R$ 10 миллионов — это риск платежеспособности, а не волатильности. (d) Пятилетняя бескупонная облигация выплачивает ровно R$ X точно в день возникновения обязательства: нет ни реинвестирования, ни досрочной продажи — оба источника риска устраняются одновременно. (e) Только если компания сознательно выделит капитал под рискованную ставку, установит лимиты и stop — но тогда это уже не средства, предназначенные для исполнения обязательства. Вывод: казначейство согласует duration с обязательством (хеджирование); тот, кто допускает рассогласование, ведет активное управление на деньги других — этическая и техническая граница между двумя подходами определяется масштабом мандата.Упражнения1) (Новая — в стиле CESGRANRIO) Для LTN (бескупонной облигации) со сроком погашения через 3 года дюрация Маколея составляет:A) 3 года.B) менее 3 лет из-за дисконтирования денежных потоков.C) более 3 лет из-за сложного начисления процентов.D) 1,5 года, то есть половину срока.E) невозможно определить без рыночной ставки.2) (Новая — в стиле CESGRANRIO) Дюрация Маколея облигации составляет 5 лет, а ее доходность — 10% годовых. Ее модифицированная дюрация приблизительно равна:A) 4,55.B) 5,00.C) 5,50.D) 4,00.E) 0,50.3) (Новая — в стиле CESGRANRIO) По облигации с модифицированной дюрацией 6 рыночная процентная ставка выросла на 0,5 процентного пункта. Приблизительное изменение ее цены, рассчитанное с помощью дюрации, составит:A) −3,0%.B) −6,0%.C) +3,0%.D) −0,5%.E) −12,0%.4) (Новая — в стиле FGV) Облигация выплачивает ежегодный купон R$ 100,00, а в конце 2-го года возвращает R$ 1.100,00 (номинал плюс последний купон). При рыночной ставке 10% годовых ее цена составляет R$ 1.000,00, а приведенная стоимость денежных потоков равна R$ 90,91 (1-й год) и R$ 909,09 (2-й год). Дюрация Маколея этой облигации приблизительно равна:A) 1,91 года.B) 2,00 года.C) 1,50 года.D) 1,10 года.E) 2,10 года.5) (Новая — в стиле FGV) При неизменности прочих факторов дюрация Маколея облигации с фиксированным доходом:A) уменьшается при росте купонной ставки.B) увеличивается при росте купонной ставки.C) не зависит от купонной ставки.D) уменьшается при увеличении срока погашения.E) всегда равна сроку погашения.6) (Новая — в стиле CESGRANRIO) Пенсионному фонду необходимо исполнить поток выплат, сосредоточенный через 8 лет, и он хочет защитить портфель облигаций с фиксированным доходом от колебаний процентных ставок. Для этого портфель следует сформировать так, чтобы:A) его duration составляла примерно 8 лет, то есть соответствовала горизонту обязательства.B) его duration была как можно меньше, с концентрацией в LFT.C) его duration была как можно больше, чтобы максимизировать выпуклость.D) все облигации погашались не позднее чем через 1 год, а позиции постоянно продлевались.E) портфель состоял только из облигаций с фиксированной ставкой и сроком погашения более 20 лет.7) (Новая — в стиле CEBRASPE, определите верность утверждения) Определите, верно ли утверждение: «Из-за выпуклости зависимости между ценой и ставкой фактическое падение цены облигации с фиксированной ставкой при резком росте процентных ставок, как правило, оказывается больше, чем падение, рассчитанное по модифицированной дюрации».( ) Верно ( ) Неверно8) (Новая — в стиле CEBRASPE, определите верность утверждения) Определите, верно ли утверждение: «Дюрацию портфеля облигаций с фиксированным доходом можно рассчитать как среднее значение дюраций входящих в него облигаций, взвешенное по доле каждой облигации в стоимости портфеля».( ) Верно ( ) НеверноОтветы1) A — Бескупонная облигация предполагает единственный денежный поток в момент погашения, поэтому ее средневзвешенный срок совпадает с самим сроком. Duration = 3 года независимо от ставки.2) A — Dmod = D/(1+i) = 5/1,10 = 4,545. Если забыть разделить на (1+i), получится вариант B — классическая ошибка.3) A — ΔP% ≈ −Dmod × Δi = −6 × 0,5 = −3,0%. Знак отрицательный: ставка выросла, цена упала (те же качели из урока 4, но теперь в числовом выражении).4) A — Веса: 90,91/1.000 = 9,09% приходится на 1-й год, а 909,09/1.000 = 90,91% — на 2-й. D = 1 × 0,0909 + 2 × 0,9091 = 1,909 года. Меньше двухлетнего срока, как у любой купонной облигации.5) A — Более крупные купоны возвращают больше денег раньше и смещают центр тяжести ближе: duration снижается. Увеличение срока повышает duration (вариант D утверждает обратное), а равенство duration = срок действует только для бескупонных облигаций (вариант E).6) A — Иммунизация = согласовать duration портфеля с горизонтом обязательства (8 лет): ценовой риск и риск реинвестирования начинают компенсировать друг друга. Минимальная duration (вариант B) защищает цену, но резко увеличивает риск реинвестирования.7) Неверно — все наоборот: из-за выпуклости фактическое падение цены при росте процентных ставок оказывается МЕНЬШЕ, чем прогнозирует прямая, рассчитанная по дюрации (а при снижении ставок цена растет сильнее). Выпуклость играет на стороне инвестора.8) Верно — Duration портфеля представляет собой средневзвешенное значение (по рыночной стоимости позиций) индивидуальных дюраций — именно так торговые подразделения сводят процентный риск всего портфеля к одному показателю.
Reactions
0
0 Comments
Be the first to comment