Princípio multiplicativo e combinação simples

> Se um acontecimento pode ser dividido em duas etapas, sendo que a 1ª etapa pode ocorre de m maneiras diferentes e, para cada uma dessas m maneiras, a 2ª etapa pode ocorrer de n modos distintos, então o número de maneiras de ocorrência do acontecimento é dado por m \ n*

Exemplos

De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode entrar e depois sair de um salão que tem 10 portas?

1ª ETAPA: Entrar —————— 10 maneiras

2ª ETAPA: Sair ——————— 10 maneiras

Entrar e Sair do salão: 10 x 10 = 100 maneiras.

Há quatro estradas ligando as cidades A e B, e três estradas ligando as cidades B e C. De quantas maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando por B?

Fazer a viagem de A a C pode ser considerado uma ação constituída de duas etapas sucessivas:

1ª - ir de A até B: temos quatro possibilidades.

2ª - ir de B a C: para cada uma das possibilidades anteriores, há três maneiras de chegar a C, a partir de B.

Assim, pelo P.F.C., o resultado procurado é 4 x 3 = 12.

Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de três algarismos distintos podemos formar?

Formar um número de três algarismos pode ser considerado uma ação constituída de três etapas sucessivas, a saber:

1ª - escolha do algarismo das centenas: temos seis possibilidades.

2ª - escolha do algarismo das dezenas: como não pode haver repetição de algarismo, devemos ter um algarismo diferente do algarismo escolhido para a centena. Assim, há cinco possibilidades.

3ª - escolha do algarismo das unidades: devemos ter um algarismo diferente dos dois anteriores (centena e dezena). Assim há apenas quatro possibilidades.

Pelo P.F.C., o resultado procurado é 6 x 5 x 4 = 120 números.

Na permutação os elementos que compõem o agrupamento mudam de ordem, ou seja, de posição.

Determinamos a quantidade possível de permutação dos elementos de um conjunto, com a seguinte expressão:

\[ P_n = n! \]

\[ P_n = n (n-1) (n-2) ... \]

Como exemplo, para cada letra que mudamos de ordem no alfabeto, a seguinte terá um lugar a menos para trocar, porque aquele caminho já foi utilizado. Por isso é utilizado fatorial para explicar o número de permutações possíveis, porque para cada elementos que utilizar, o número de possibilidades diminui por 1.

Exemplos

Para a eleição de representante com 3 candidatos (V, C e F), temos 6 possibilidades de resultado, em relação a posição dos candidatos, ou seja, 1º, 2º e 3º lugar. Veja a seguir os possíveis resultados dessa eleição.

De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais?

\[ P = n! = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120\]

De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres iniciando com homem e terminando com mulher?

Ao iniciarmos o agrupamento com homem e terminarmos com mulher teremos:

- Seis homens aleatoriamente na primeira posição.

- Seis mulheres aleatoriamente na última posição.

- Permutando o resto nas 10 posição restantes que se encontram no meio! Assim:

\[ P_n = 6 · 10! · 6 = 6 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 6 = 130.636.800\]

Nessa permutação alguns elementos que compõem o evento experimental são repetidos, quando isso ocorrer devemos aplicar a seguinte fórmula:

\[ P_n = \frac{n!}{n_1!· n_2! · n_3! ·...} \]

- n! total de elementos do evento

- n_1! em diante: total de elementos repetidos

Ao final, é uma permutação simples dividida pela quantidade de vezes que irá repetir.

Exemplos

Quantos anagramas são possíveis formar com a palavra CASA:

A palavra CASA possui: 4 letras (n) e duas vogais que se repetem (n1).

\[ P_{n, n1} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 · 3 · 2 · 1}{2 · 1} = \frac{24}{2} = 12 \]

Utilizando o nome COPACABANA, calcule o número de anagramas formados desconsiderando aqueles em que ocorrem repetições consecutivas de letras.

Na palavra COPACABANA, temos quatro letras A e duas letras C e 10 letras no total.

\[ P_{n, n1} = \frac{10!}{4! · 2!} = \frac{10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1}{4 · 3 · 2 · 1 · 2 · 1} = 75600 \]

No arranjo simples a localização de cada elemento do conjunto forma diferentes agrupamentos, devemos levar em consideração, a ordem de posição do elemento e sua natureza, além disso, devemos saber que ao mudar os elementos de posição isso causa diferenciação entre os agrupamentos.

> Em arranjos a ordem importa!

Para saber a quantidade de arranjos possíveis em p agrupamento com n elementos, devemos utilizar a fórmula a seguir:

\[ A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!} \]

- n = elementos

- p = Agrupamentos

Nota-se que (n - p) representam os elementos de não interesse para o agrupamento. Para cada agrupamento possível, irá se repetir para cada possibilidade dos grupos de não interesse, por isso se divide pela permutação deles ao final.

Exemplos

Quantos números com dois algarismos podem ser formados a partir do conjunto A = {2, 4, 6, 8, 9

Veja que temos um conjunto de 5 elementos, onde devemos escolher de 2 em 2. Percebe-se que a ordem é importante neste caso por 21 ser diferente de 12.

\[ A_{n,p} = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 · 4 · 3 · 2 · 1}{3 · 2 · 1} = 20 \]

Flávia, Maria, Gustavo e Pedro estão participando de uma competição em que há premiação para os três primeiros colocados (1º, 2º e 3º). Quais são as possibilidades de premiação?

- Quantidade de participantes da competição: n = 4

- Quantidade de pessoas em cada agrupamento (premiação): p = 3

\[ A_{n,p} = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = \frac{4 · 3 · 2 ·1}{1} = 24 \]

Na combinação simples, em um agrupamento mudamos somente a ordem dos elementos distintos.

> Em combinação ordem dos elementos é irrelevante!

Para que isso seja feito podemos recorrer à utilização da fórmula:

\[ C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!} \]

- n = elementos

- p = Agrupamentos

Nota-se que (n - p) representam os elementos de não interesse para o agrupamento. Para cada agrupamento possível, irá se repetir para cada possibilidade dos grupos de não interesse, por isso se divide pela permutação deles ao final. Também percebe-se que deve-se dividir pelas repetições que ocorrem no agrupamento de interesse, já que a ordem desses é irrelevante, por isso também é dividido por p! que representam as permutações desse grupo.

Exemplos

De quantos modos diferentes posso separar 10 bolinhas de cores distintas, colocando 2 bolinhas em cada saquinhos.

- n = 10

- p = 2

- A ordem em que as bolas estão não é relevante

\[ C_{n,p} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 · 9 · 8!}{2!8!} = \frac{10 · 9}{2} = 45 \]

João está fazendo a mala para viajar e vai levar duas bermudas. Sabendo que ele dispõe de cinco (azul, preta, branca, marrom e listrada), de quantas formas diferentes ele pode escolher as bermudas?

Veja que temos um conjunto de 5 elementos (bermudas), onde devemos escolher de 2 em 2, onde tanto faz qual bermuda ele escolher primeiro, o que importa são quais as duas bermudas que serão escolhidas.

Basta percebermos que ele levar a azul e a preta é a mesma coisa que levar a preta e a azul. Logo, trata-se de combinação:

\[ C_{n,p} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 · 4 · 3!}{2!3!} = \frac{5 · 4}{2} = 10 \]

1. Para ir ao clube, Júnior deseja usar uma camiseta, uma bermuda e um par de tênis. Sabendo que ele dispõe de seis camisetas, quatro bermudas e três pares de tênis, de quantas maneiras distintas poderá vestir-se?
2. Uma agência de turismo oferece bilhetes aéreos para o trecho São Paulo – Miami através de duas companhias: Varig ou Vasp. O passageiro pode escolher também entre primeira classe, classe executiva e classe econômica. De quantas maneiras um passageiro pode fazer tal escolha?
3. Um jantar constará de três partes: entrada, prato principal e sobremesa. De quantas maneiras distintas ele poderá ser composto, se há como opções oito entradas, cinco pratos principais e quatro sobremesas?
4. O vagão de um trem possui seis portas. De quantas maneiras distintas um passageiro pode entrar no trem e sair dele por uma porta diferente da que entrou?

5. Uma prova consta de dez testes de múltipla escolha. De quantas maneiras distintas a prova pode ser resolvida, se cada teste tem cinco alternativa distintas?
6. Com os algarismos 1, 2, 4, 6, 8 e 9:

1. Quantos números de quatro algarismos podemos formar?
2. Quantos números de quatro algarismo distintos podemos formar?

7. Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6 e 7:

1. Quantos números de quatro algarismos distintos começam por 3?
2. Quantos números pares de quatro algarismos distintos podemos formar?

8. Quantos números de três algarismos distintos existem?
9. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 ,5 e 6, quantos números ímpares de quatro algarismos podemos formar?
10. Deseja-se formar números divisíveis por 5, compostos de quatro algarismos distintos. Quantas são as possibilidades dispondo se dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6? (Sugestão: analise dois casos: quando o número termina por zero e quando ele termina por 5.)
11. Um ladrão sabe que o segredo de um cofre é formado por uma seqüência de três algarismos distintos. Além disso, ele sabe que o algarismo das centenas é igual a 4. Se , em média, o ladrão leva 3 minutos para testar uma possível seqüência, qual o tempo máximo para o ladrão abrir o cofre?

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12. 1. Em determinada cidade, as placas de automóveis são constituídas de uma seqüência de duas letras distintas e três algarismos. Quantas placas podem ser confeccionadas? (Considere o alfabeto com 26 letras.)
    2. Para atender ao aumento do número de veículos, decidiu-se aumentar em um algarismo as placas dos carros. Se as regras para a confecção das placas permanecerem as mesmas do item anterior, qual o novo total de placas?

13. Um estudante está procurando as soluções inteiras de equação 2x = a + b. Sabendo que a = {1,2,3,4 e 5} e b = {1,2,3,4,5}, de quanta maneiras o estudante poderá escolher a e b para obter soluções inteiras?
14. Quantos conjuntos de iniciais podem ser formados se todas as pessoas têm só um sobrenome e:

    1. Exatamente um nome?
    2. Exatamente dois nomes?

15. As atuais placas de licenciamento de automóveis constam de sete símbolos, sendo três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos.

    1. Quantas placas distintas podemos ter sem o algarismo zero na 1ª posição reservada aos algarismos?
    2. No conjunto de todas as placas distintas possíveis, qual a porcentagem daquelas que têm as duas primeiras letras iguais?

16. A escrita braile para cegos é um sistema de símbolos em que cada um dos caracteres é formado por uma matriz de seis pontos, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos outros. Qual o número máximo de caracteres distintos que podem ser representados nesse sistema de escrita?
17. Determine quantos são os números de três algarismos, múltiplo de 5, cujos algarismo das centenas pertencem a {1,2,3,4} e os demais algarismos a {0,5,6,7,8,9}.

18. Determine o número de anagramas que podem ser formados com as letras do nome ALEMANHA.
19. Ao preencher um cartão de loteria, André optou pelas seguintes marcações: em 4 colunas marcou o número 1, em 6 colunas marcou o número 2 e em 3 colunas marcou o número 3. De quantas maneiras distintas André poderá marcar os cartões?
20. Em um torneio de futsal um time obteve 8 vitórias, 5 empates e 2 derrotas, nas 15 partidas disputadas. De quantas maneiras distintas esses resultados podem ter ocorrido?
21. Em uma prova composta de 20 questões envolvendo V ou F, de quantas maneiras distintas teremos doze respostas V e oito respostas F?
22. Em uma empresa, quinze funcionários se candidataram para as vagas de diretor e vice-diretor financeiro. Eles serão escolhidos através do voto individual dos membros do conselho da empresa. Determine de quantas maneiras distintas essa escolha pode ser feita.
23. Um número de telefone é formado por 8 algarismos. Determine quantos números de telefone podemos formar com algarismos diferentes, que comecem com 2 e terminem com 8.
24. Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Determine o número de possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos.

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25. Em uma sala de aula existem 12 alunas, onde uma delas chama-se Carla, e 8 alunos, onde um deles atende pelo nome de Luiz. Deseja-se formar comissões de 5 alunas e 4 alunos. Determine o número de comissões, onde simultaneamente participam Carla e Luiz.
26. Um time de futebol é composto de 11 jogadores, sendo 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meio campistas e 2 atacantes. Considerando-se que o técnico dispõe de 3 goleiros, 8 zagueiros, 10 meio campistas e 6 atacantes, determine o número de maneiras possíveis que esse time pode ser formado.
27. Um pesquisador científico precisa escolher três cobaias, num grupo de oito cobaias. Determine o número de maneiras que ele pode realizar a escolha.
28. No jogo de basquetebol, cada time entra em quadra com cinco jogadores. Considerando-se que um time para disputar um campeonato necessita de pelo menos 12 jogadores, e que desses, 2 são titulares absolutos, determine o número de equipes que o técnico poderá formar com o restante dos jogadores, sendo que eles atuam em qualquer posição.

1. 72
2. 6
3. 160
4. 30
5. 5¹⁰
6. a) 1296; b) 360

7. a) 60; b) 180
8. 648
9. 882
10. 220
11. 216min ou 3h e 36min
12. a) 650.000; b) 6.500.000
13. 13
14. a) 676; b) 17.576
15. a) 158.184.000; b) 3,85%
16. 63
17. 48
18. 6720
19. 60.060
20. 135.135
21. 125.970
22. 210
23. 20.160
24. 151.200
25. 11.550
26. 661.500
27. 56
28. 120

[1] https://www.infoescola.com/matematica/analise-combinatoria/

[2] http://sabermatematica.com.br/a-diferenca-entre-arranjo-e-combinacao.html

[3] http://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-permutacao-com-elementos-repetidos.htm