O que é uma Função de Probabilidade?É uma função que associa a cada resultado possível de uma variável aleatória discreta a sua probabilidade de ocorrência.Exemplo simples: Lançamento de um dado justo.- Variável aleatória (X): Número da face (1, 2, 3, 4, 5, 6).- Probabilidade de cada face: \( P(X = x) = \frac{1}{6} \).A função de probabilidade é a tabela ou fórmula que mostra essa associação.Para ser válida, a função deve satisfazer:1. Não-negatividade:\( P(X = x) \geq 0 \) para todo \( x \).(Exemplo: Não existe probabilidade negativa, como -0,2 para sair o número 5 no dado.)2. Soma igual a 1:\( \sum_{\text{todos } x} P(X = x) = 1 \).(Exemplo: \( \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{6} = 1 \)).3. Diferença para Variáveis Contínuas- Em variáveis discretas (como dados, moedas), usamos função de probabilidade (\( P(X = x) \)).- Em variáveis contínuas (como altura, peso), usamos função densidade de probabilidade (f.d.p.), pois \( P(X = x) = 0 \) para qualquer \( x \) específico.Distribuição de BernoulliA Distribuição de Bernoulli é usada para modelar situações em que há apenas dois resultados possíveis: sucesso (1) ou fracasso (0). Cada tentativa é independente, e as probabilidades de sucesso (\( p \)) e fracasso (\(q\)) são constantes.Fórmula da Distribuição de BernoulliA probabilidade de um evento de Bernoulli é dada por:\[ P(X = 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - q = p \]Onde:- \( k = 1 \) (sucesso) ou \( k = 0 \) (fracasso).- \( p \): Probabilidade de sucesso.- \( q \): Probabilidade de fracasso (também escrita como \( 1 - p \)).Como todo evento de bernoulli procuramos só 1 ou 0 sucessos (n sendo o total de tentativas, 1 em bernoulli, e k sendo o total de sucessos). Assim também podemos escrever a probabilidade como:\[ P(X = k) = p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]Exemplos da Vida RealExemplo 1: Jogar uma moeda- Sucesso: Cara (\( k = 1 \)).- Fracasso: Coroa (\( k = 0 \)).- Probabilidade de sucesso (\( p \)): 0,5.Pergunta:Qual a probabilidade de obter cara em um único lançamento?Resolução:\[ P(X = 1) = 0,5^1 \cdot (1 - 0,5)^{1 - 1} = 0,5 \quad (50\%) \]Exemplo 2: Chutar uma questão de múltipla escolha- Sucesso: Acertar (\( k = 1 \)).- Fracasso: Errar (\( k = 0 \)).- Probabilidade de sucesso (\( p \)): 0,25 (4 opções).Pergunta:Qual a probabilidade de acertar a questão?Resolução:\[ P(X = 1) = 0,25^1 \cdot (1 - 0,25)^{1 - 1} = 0,25 \quad (25\%) \]Distribuição BinomialA Distribuição Binomial é usada para modelar o número de sucessos em \( n \) tentativas independentes de um experimento de Bernoulli, onde cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso \( p \).Fórmula da Distribuição BinomialA probabilidade de obter exatamente \( k \) sucessos em \( n \) tentativas é dada por:\[ P(X = k) = C_{n,k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]Onde:- \( C_{n,k} \): Combinação de \( n \) elementos tomados \( k \) a \( k \).- \( p \): Probabilidade de sucesso em uma única tentativa.- \( 1 - p \): Probabilidade de fracasso.- \( n \): Número total de tentativas.- \( k \): Número de sucessos desejados.Gráfico representando as probabilidades na distribuição BinomialExemplos da Vida RealExemplo 1: Jogar uma moeda 5 vezes- Sucesso: Cara (\( k = 1 \)).- Fracasso: Coroa (\( k = 0 \)).- Probabilidade de sucesso (\( p \)): 0,5.- Número de tentativas (\( n \)): 5.Pergunta:Qual a probabilidade de obter exatamente 3 caras?Resolução:\[ C_{5,3} = \frac{5!}{3! \cdot (5 - 3)!} = 10 \]\[ P(X = 3) = 10 \cdot 0,5^3 \cdot (1 - 0,5)^{5 - 3} = 10 \cdot 0,125 \cdot 0,25 = 0,3125 \quad (31,25\%) \]Exemplo 2: Acertar 2 questões em 5 chutes- Sucesso: Acertar (\( k = 1 \)).- Fracasso: Errar (\( k = 0 \)).- Probabilidade de sucesso (\( p \)): 0,25 (4 opções).- Número de tentativas (\( n \)): 5.Pergunta:Qual a probabilidade de acertar exatamente 2 questões?Resolução:\[ C_{5,2} = \frac{5!}{2! \cdot (5 - 2)!} = 10 \]\[ P(X = 2) = 10 \cdot 0,25^2 \cdot (1 - 0,25)^{5 - 2} = 10 \cdot 0,0625 \cdot 0,421875 = 0,2637 \quad (26,37\%) \]Exemplo 3: Lançar um dado 4 vezes- Sucesso: Obter o número 6 (\( k = 1 \)).- Fracasso: Não obter o número 6 (\( k = 0 \)).- Probabilidade de sucesso (\( p \)): \( \frac{1}{6} \).- Número de tentativas (\( n \)): 4.Pergunta:Qual a probabilidade de obter exatamente 2 vezes o número 6?Resolução:\[ C_{4,2} = \frac{4!}{2! \cdot (4 - 2)!} = 6 \]\[ P(X = 2) = 6 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4 - 2} = 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} \approx 0,1157 \quad (11,57\%) \]Exercícios1. Jogar uma moeda 8 vezes:- Qual a probabilidade de obter exatamente 5 caras?- Qual a probabilidade de obter menos de 3 caras?2. Chutar 10 questões de múltipla escolha (4 opções):- Qual a probabilidade de acertar exatamente 4 questões?- Qual a probabilidade de acertar pelo menos 5 questões?3. Lançar um dado 6 vezes:- Qual a probabilidade de obter exatamente 2 vezes o número 5?- Qual a probabilidade de obter no máximo 3 vezes o número 5?4. Um time de futebol tem 70% de chance de vencer cada partida. Em 5 jogos:- Qual a probabilidade de vencer exatamente 3 partidas?- Qual a probabilidade de vencer pelo menos 4 partidas?Gabarito1. Jogar uma moeda 8 vezes:- 21,88%- 14,45%2. Chutar 10 questões:- 14,60%- 7,81%3. Lançar um dado 6 vezes:- 20,09%- 99,13%4. Time de futebol:- 30,87%- 52,82%
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