Calculando o Tamanho Amostral Perfeito para sua pesquisa

06/08/2025, actualizado 29/10/2026 •0•0

Como calcular o tamanho da amostra para estimar uma média ou uma proporção: fórmula n = (zσ/E)², o que fazer sem σ, exemplos e exercícios com gabarito.

Escrito porLeon

Introdução

O processo de escolha dos indivíduos que farão parte de uma AMOSTRA se chama AMOSTRAGEM. O pesquisador busca generalizar as conclusões obtidas na AMOSTRA, estendendo-as para toda a POPULAÇÃO da qual ela foi extraída.

Uma amostra nunca representa perfeitamente a população. Ou seja, usar uma amostra implica aceitar uma margem de erro, que chamaremos de ERRO AMOSTRAL: a diferença entre um resultado da amostra e o verdadeiro resultado da população. Esses erros vêm das flutuações aleatórias de amostra para amostra.

Já os erros não amostrais ocorrem quando:

os dados são coletados, registrados ou analisados incorretamente;
usa-se um instrumento defeituoso nas medições;
um questionário ou formulário tem perguntas formuladas de modo tendencioso.

Para evitar erros não amostrais, verifique nossa aula sobre amostragem.

Não podemos evitar o ERRO AMOSTRAL, mas podemos limitar seu tamanho escolhendo uma amostra de tamanho adequado. O ERRO AMOSTRAL e o TAMANHO DA AMOSTRA andam em sentidos contrários: quanto maior a amostra, menor o erro, e vice-versa. Mas não na mesma proporção: o erro cai com a raiz quadrada de n, então para reduzir o erro à metade é preciso quadruplicar a amostra.

Uma pesquisa com 400 pessoas tem margem de erro de 4 pontos percentuais. Mantendo a mesma confiança, quantas pessoas seriam necessárias para uma margem de 2 pontos?

Gabarito: 1.600 — a margem de erro é proporcional a 1/√n. Para dividir a margem por 2, é preciso multiplicar n por 2² = 4. Dobrar a amostra (800) reduziria a margem só para cerca de 2,8 pontos.

Determinação do tamanho da amostra

A determinação do tamanho de uma amostra é um problema de grande importância, porque amostras desnecessariamente grandes acarretam desperdício de tempo e de dinheiro, e amostras pequenas demais podem levar a resultados não confiáveis.

Em muitos casos é possível determinar o tamanho mínimo de uma amostra para estimar um parâmetro, como a MÉDIA POPULACIONAL (µ).

Mas como calcular o tamanho amostral (n) a partir de valores já conhecidos? Um intervalo de confiança para a média, com limite inferior a e limite superior b, é:

a = x̄ − z · σ/√n

b = x̄ + z · σ/√n

onde x̄ é a média da amostra, σ o desvio padrão da população e z o valor da normal padrão para a confiança escolhida (1,645 para 90%, 1,96 para 95%, 2,576 para 99%). A distância da média da amostra até cada extremo do intervalo é a margem de erro (E):

E = z · σ/√n

Isolando n:

√n = z · σ/E

n = (z · σ/E)²

Como n precisa ser um número inteiro e a margem não pode passar de E, o resultado é sempre arredondado para cima. Portanto, para saber o tamanho da amostra, você precisa:

escolher a margem de erro E;
escolher o nível de confiança (e, com ele, o z);
conhecer o desvio padrão da população (σ).

Exemplos

Um economista deseja estimar a renda média no primeiro ano de trabalho de um bacharel em direito. Quantos valores de renda devem ser coletados se ele deseja ter 95% de confiança de que a média amostral fique a menos de R$ 500,00 da verdadeira média populacional? Suponha que se saiba, por um estudo anterior, que para essas rendas σ = R$ 6.250,00.

σ = 6.250; E = 500; confiança de 95%, ou seja, z = 1,96.

n = (1,96 × 6.250/500)² = 24,5² = 600,25, que arredondamos para cima: 601.

Devemos, portanto, obter uma amostra de pelo menos 601 rendas de primeiro ano, selecionadas aleatoriamente, de bacharéis em direito. Com ela teremos 95% de confiança de que a média amostral x̄ difere em menos de R$ 500,00 da verdadeira média populacional µ.

Com os dados do exemplo anterior, use uma margem de erro maior, de R$ 1.000,00, e determine o tamanho de amostra necessário.

Como a margem de erro dobrou e ela aparece ao quadrado no denominador, o tamanho amostral fica dividido por 2² = 4: n = (1,96 × 6.250/1.000)² = 150,06, ou seja, 151. Repare que pesquisas mais precisas podem exigir muito mais recursos.

Uma fábrica quer estimar o peso médio de um produto com 95% de confiança e margem de erro de 2 g. O desvio padrão conhecido é de 20 g. Qual o tamanho mínimo da amostra?

Gabarito: 385 — n = (1,96 × 20/2)² = 19,6² = 384,16, e o tamanho amostral sempre se arredonda para cima. Com 384 a margem ficaria um pouco acima de 2 g.

E se σ não for conhecido?

A fórmula do tamanho amostral exige um valor para o desvio padrão populacional σ. Se ele for desconhecido, podemos usar um valor preliminar obtido de uma destas formas:

Usar a aproximação σ ≈ amplitude/4 (a amplitude é o maior valor possível menos o menor).
Fazer um estudo piloto: com uma primeira coleta de pelo menos 31 valores selecionados aleatoriamente, calcular o desvio padrão amostral s e usá-lo no lugar de σ. Esse valor pode ser refinado à medida que mais dados forem coletados.
Quando o que se quer estimar é uma proporção p, usar o desvio padrão de uma resposta sim/não (Bernoulli): σ = √(p · (1 − p)), com uma estimativa prévia de p.
Se não houver nenhuma estimativa prévia da proporção, usar p = 0,5 (50%), que é o valor que maximiza p · (1 − p). Assim σ = √0,25 = 0,5, e a amostra fica grande o bastante seja qual for a proporção verdadeira.

Para proporções, a fórmula fica então n = z² · p · (1 − p)/E².

Exemplos

Uma assistente social deseja saber o tamanho de amostra (n) necessário para determinar a proporção da população atendida por uma Unidade de Saúde do município de Cariacica. Não foi feito levantamento prévio, e por isso a proporção é desconhecida. Ela quer ter 90% de confiança de que o erro máximo da estimativa (E) seja de ±5 pontos percentuais (0,05). Quantas pessoas precisam ser entrevistadas?

Confiança de 90%, ou seja, z = 1,645;

p = 0,5 por ser desconhecida, logo p · (1 − p) = 0,25 e σ = 0,5;

E = 0,05.

n = (1,645 × 0,5/0,05)² = 16,45² = 270,6, que arredondamos para cima: 271.

Devemos, portanto, entrevistar 271 pessoas para estimar a proporção da população de Cariacica atendida pela Unidade de Saúde.

Sem nenhuma estimativa prévia, quantas pessoas é preciso entrevistar para estimar uma proporção com 95% de confiança e margem de erro de 3 pontos percentuais?

Gabarito: 1.068 — com p = 0,5, n = 1,96² × 0,25/0,03² = 1.067,1, arredondado para cima. Quem chega a 267 usou 0,25 no lugar de σ: 0,25 é a variância p(1 − p), e o desvio padrão é a raiz dela, 0,5.

Por que, sem informação prévia, se usa p = 0,5 no cálculo do tamanho da amostra?

Gabarito: Porque p = 0,5 dá o maior valor de p(1 − p) e, portanto, a amostra mais segura — 0,5 × 0,5 = 0,25 é o máximo. Se a proporção verdadeira for outra, a margem real será menor que a planejada, nunca maior.

Exercícios

1) Um pesquisador deseja estimar a proporção de ratos que desenvolvem certo tipo de tumor quando submetidos a radiação. Ele quer que sua estimativa não se desvie da proporção verdadeira por mais de 0,02, com probabilidade de pelo menos 90%. Quantos animais ele precisa examinar?

2) Com os dados do exercício anterior, como seria possível diminuir o tamanho da amostra usando a informação adicional de que, em geral, esse tipo de radiação não afeta mais que 20% dos ratos?

3) Antes de uma eleição, um partido quer estimar a proporção de eleitores favoráveis a seu candidato. Determine o tamanho de amostra necessário para que o erro da estimativa seja de no máximo 0,01, com probabilidade de 80%.

4) Se, na pesquisa do exercício anterior, 55% dos eleitores entrevistados eram favoráveis ao candidato, construa um intervalo de confiança de 95% para a proporção de eleitores do candidato.

5) Um cientista quer estimar a proporção p de indivíduos com certa doença numa região. Ele deseja que a probabilidade de sua estimativa não se desviar do verdadeiro valor de p por mais de 0,02 seja de pelo menos 95%. Qual deve ser o tamanho da amostra? Outro cientista descobre que a doença está relacionada à concentração da substância A no sangue, e que é considerado doente todo indivíduo com concentração de A menor que 1,488 mg/cm³. Sabe-se que a concentração de A tem distribuição normal com desvio padrão de 0,4 mg/cm³ e média maior que 2,0 mg/cm³. Essas informações podem ser usadas pelo primeiro cientista para diminuir o tamanho da amostra? Qual o tamanho ideal?

6) Um instituto de pesquisa de opinião quis avaliar o que os telespectadores de uma região acham de certo comentarista esportivo. Entrevistou 380 telespectadores, selecionados ao acaso, e constatou que 180 desejavam que o comentarista fosse afastado da TV. Determine um intervalo de confiança de 90% para p, a proporção de telespectadores favoráveis ao afastamento.

Gabarito

1) 1.692 (z = 1,645 e p = 0,5: n = 1,645² × 0,25/0,02² = 1.691,3). Com o z de tabela arredondado para 1,64, o resultado é 1.681.

2) 1.083 (usando p = 0,2: n = 1,645² × 0,2 × 0,8/0,02² = 1.082,4). Com z = 1,64, dá 1.076.

3) 4.106 (z = 1,282 e p = 0,5: n = 1,282² × 0,25/0,01² = 4.105,9). Com z = 1,28, dá 4.096.

4) IC de 95% de 53,5% a 56,5% (0,55 ± 1,96 × √(0,55 × 0,45/4.096) = 0,55 ± 0,015).

5) Sem a informação: 2.401. Com ela: a doença atinge no máximo P(Z menor que (1,488 − 2,0)/0,4 = −1,28) ≈ 0,10, então usando p = 0,10: n = 1,96² × 0,1 × 0,9/0,02² = 864,4, ou seja, 865.

6) p̂ = 180/380 = 0,474; IC de 90% de 43,2% a 51,6% (0,474 ± 1,645 × √(0,474 × 0,526/380) = 0,474 ± 0,042).

¿Qué te ha parecido este artículo?

0^%

Nota de los usuarios (0)

¡Comparte este artículo!