En la Lección 4 descubriste el balancín: si sube el tipo de interés, baja el precio. Y viste que el plazo amplifica el efecto: la LTN a 5 años cayó un 8,5% con el mismo shock que hizo caer un 1,8% a la de 1 año. Quedó en el aire la pregunta del millón: ¿se puede prever, con un solo número, cuánto va a oscilar un bono?Sí. Ese número se llama duration, y probablemente sea el concepto más utilizado por los gestores de renta fija en todo el mundo. En esta lección aprenderás a calcularla y a utilizarla para estimar pérdidas y ganancias en cuestión de segundos, además de conocer su corrección de fábrica: la convexidad. Es la lección más matemática del curso hasta ahora. También es la que más diferencia a quienes operan en renta fija de quienes simplemente invierten en ella.1. La pregunta correcta: ¿cuál es el plazo VERDADERO de un bono?Empecemos con un acertijo. Dos bonos vencen exactamente dentro de 3 años:El bono A es una LTN: paga R$ 1.000 de una sola vez, al vencimiento.El bono B paga cupones de R$ 100 al final de cada año y devuelve R$ 1.100 en el tercero (principal + último cupón).Los dos "vencen en 3 años". Pero ¿son igual de sensibles a los tipos de interés? ¡No! El bono B devuelve parte de tu dinero antes, y el dinero que vuelve antes permanece menos tiempo expuesto al tipo de interés. El plazo de vencimiento, por sí solo, engaña.La duration de Macaulay corrige esto: es el plazo medio de cobro de los flujos, ponderado por el valor presente de cada uno. En lugar de preguntar "¿cuándo vence el bono?", pregunta "¿cuánto tarda, en promedio, mi dinero en volver a casa?".Consecuencia inmediata, que resuelve la mitad de las preguntas de examen: en los bonos cupón cero (como la LTN), la duration es igual al plazo de vencimiento: todo el dinero vuelve de una vez, al final. En los bonos con cupón, la duration es siempre menor que el plazo.Una LTN (bono cupón cero) vence exactamente dentro de 4 años. Su duration de Macaulay es de...Respuesta: 4 años, igual al plazo, porque hay un único flujo al vencimiento; sin pagos intermedios, el plazo medio ponderado ES el propio vencimiento. Esta igualdad solo se aplica a los bonos cupón cero.2. Cálculo de la duration de MacaulayVamos a calcular la duration del bono B: cupones anuales de R$ 100, devolución de R$ 1.100 en el año 3 y un tipo de mercado del 12% anual.Paso 1 — valor presente de cada flujo:Año 1: 100 / 1,12 = R$ 89,29Año 2: 100 / (1,12)² = R$ 79,72Año 3: 1.100 / (1,12)³ = R$ 782,96Precio del bono = suma de los VP = R$ 951,96Paso 2 — peso de cada flujo en el precio:Año 1: 89,29 / 951,96 = 9,4%. Año 2: 79,72 / 951,96 = 8,4%. Año 3: 782,96 / 951,96 = 82,2%.Paso 3 — promedio de los plazos, ponderado por los pesos:D = 1 × 0,094 + 2 × 0,084 + 3 × 0,822 = 2,73 añosInterpretación: aunque el bono vence en 3 años, el "centro de gravedad" del dinero está en 2,73 años. Es como si, a efectos de sensibilidad a los tipos, el bono fuera una LTN a 2,73 años.3. Duration modificada: el multiplicador del dañoLa Macaulay mide un plazo. Para convertirla en sensibilidad del precio, la dividimos por el tipo bruto y obtenemos la duration modificada:Dmod = D / (1 + i)En nuestro ejemplo: Dmod = 2,73 / 1,12 = 2,44Y ahora, la fórmula que los gestores utilizan durante todo el día:Variación % del precio ≈ − Dmod × variación del tipo (en puntos porcentuales)Prueba: si el tipo sube del 12% al 13% (+1 p.p.), el precio del bono B cae aproximadamente 2,44 × 1 = −2,44%.Comprobándolo por el método largo: al volver a valorar los tres flujos al 13%, el precio pasa de R$ 951,96 a R$ 929,17, una caída del −2,39%. La estimación de la duration se equivocó en 0,05 puntos porcentuales. No está nada mal para una multiplicación mental, y enseguida entenderemos de dónde sale esa pequeña diferencia.Retomando la Lección 4: la LTN a 2 años al 12% tiene D = 2 y Dmod = 2/1,12 = 1,79. Con el shock de +2 p.p. de aquella lección, la estimación da −3,57%; el valor exacto fue −3,48%. Las cuentas cuadran.Un bono tiene una duration de Macaulay de 5 años y cotiza a un tipo del 10% anual. Si el tipo de mercado sube 1 punto porcentual, la caída aproximada del precio estimada mediante la duration modificada es de...Respuesta: 4,55%; Dmod = 5/1,10 = 4,545; variación ≈ −4,545 × 1 p.p. ≈ −4,55%. La opción del 5% olvida dividir por (1+i): utiliza la Macaulay en lugar de la modificada, el error más común.4. Qué hace que la duration suba o bajeTres reguladores controlan la duration de cualquier bono:Plazo: cuanto más lejano sea el vencimiento, mayor será la duration. (El regulador dominante.)Cupón: cuanto MAYORES sean los cupones, MENOR será la duration: más dinero vuelve pronto y el centro de gravedad se acerca. Por eso la NTN-B Principal (cupón cero) es más sensible que la NTN-B con intereses semestrales y el mismo vencimiento.Tipo de mercado: cuanto mayor sea el tipo, menor será la duration: el fuerte descuento reduce el valor presente de los flujos lejanos y acerca el centro de gravedad.Ahora ya tienes todo el vocabulario necesario para entender la paradoja de la Lección 5: la NTN-B 2060 oscila tanto porque combina un plazo larguísimo con cupones pequeños (o ninguno, en la Principal): la receta para alcanzar la duration máxima del mercado brasileño.Dos bonos tienen el mismo emisor, el mismo tipo y el mismo vencimiento dentro de 10 años. El bono X paga cupones semestrales generosos; el bono Y es cupón cero. Sobre la sensibilidad a los tipos, es correcto afirmar que...Respuesta: Y es más sensible, porque su duration es mayor que la de X; en el bono cupón cero, duration = 10 años; con cupones generosos, el dinero vuelve antes y la duration cae bastante por debajo de 10. El mismo vencimiento NO significa el mismo riesgo: ese es el mensaje central de la lección.5. Convexidad: la curvatura que juega a tu favor¿De dónde salió aquella diferencia entre el −2,44% estimado y el −2,39% real? La duration traza una recta tangente a la relación entre precio y tipo. Pero la relación verdadera es una curva: convexa, con la panza orientada hacia abajo.La consecuencia práctica, y elegante, es la siguiente: ante grandes variaciones de los tipos, la recta de la duration exagera las pérdidas y subestima las ganancias. El precio real cae MENOS de lo que prevé la duration cuando sube el tipo, y sube MÁS de lo que prevé cuando baja.En otras palabras: la convexidad es amiga del inversor. Entre dos bonos con la misma duration, el que tenga mayor convexidad se comporta mejor en ambos escenarios, y por eso el mercado acepta pagar un poco más por él. Para shocks pequeños (hasta ~1 p.p.), la duration por sí sola es suficiente; para shocks grandes, los gestores suman el ajuste de convexidad a la estimación.Un gestor estimó mediante la duration modificada una caída del 8% en el precio de un bono ante una fuerte subida de los tipos. Teniendo en cuenta el efecto de la convexidad, la caída efectiva tenderá a ser...Respuesta: Menor que el 8%, porque la curva de precios es convexa; la recta de la duration sobreestima las caídas y subestima las subidas. En los shocks grandes, la convexidad siempre "devuelve" parte de la pérdida estimada.6. Para qué sirve en la práctica: inmunización y gestiónLa duration no es solo un termómetro: también es un volante. Dos usos dominan el mercado:Inmunización: quien tiene un compromiso con una fecha concreta (pagar R$ 10 millones dentro de 5 años, por ejemplo) construye una cartera con una duration igual al horizonte del pasivo. Así, los dos riesgos opuestos se cancelan: si suben los tipos, el precio de la cartera cae, pero la reinversión de los flujos ofrece una mayor rentabilidad; si bajan, el precio sube y compensa la peor reinversión. El caso perfecto es el de un bono cupón cero casado con el pasivo: una LTN a 5 años para un pasivo a 5 años elimina el problema por construcción. Es la lógica de los fondos de pensiones y de Beatriz, de la Lección 5.Gestión activa: quien espera una bajada de los tipos alarga la duration de la cartera (más NTN-B largas y más bonos a tipo fijo largos) para aprovechar la revalorización; quien espera una subida la acorta (más LFT y más títulos a corto plazo). La duration de la cartera es simplemente la media de las durations de los bonos, ponderada por el valor de cada posición: un solo número para resumir el riesgo de millones invertidos en títulos diferentes.“La duration es el volante de la renta fija: no cambia la carretera de los tipos, pero decide cuánto sacude cada curva al pasajero.”- Síntesis de mesa de gestión7. Cómo encaja todoLo esencial de la lección:La duration de Macaulay es el plazo medio de los flujos ponderado por sus valores presentes: el "centro de gravedad" del dinero. En los bonos cupón cero, duration = plazo; con cupones, siempre es menor.La duration modificada (D/(1+i)) convierte el plazo en sensibilidad: ΔP% ≈ −Dmod × Δtipo.La duration crece con el plazo y disminuye con cupones mayores y tipos más altos.La convexidad corrige la recta de la duration: las pérdidas reales son menores y las ganancias reales mayores que la estimación lineal, por lo que resulta deseable.La inmunización iguala la duration de la cartera al plazo del pasivo; la gestión activa la alarga cuando se espera una bajada de tipos y la acorta cuando se espera una subida.En la próxima lección cerraremos el bloque de renta fija uniendo todas las piezas —valoración a mercado, duration y curva— en estrategias y gestión del riesgo: cómo construyen, protegen y someten a estrés los profesionales una cartera de renta fija de verdad.Ejercicio para debatir en claseLa caja fuerte con fecha marcada. Pensemos juntos.La tesorería de una empresa debe pagar R$ 10 millones exactamente dentro de 5 años (una obligación propia que vence). El dinero ya existe y está invertido. Tres directores defienden tres estrategias:Director A: "LFT. Cero sobresaltos, sigue la Selic y dormimos tranquilos."Director B: "LTN con vencimiento en 5 años, casada con el pago. Fijamos hoy el tipo y nos olvidamos del asunto."Director C: "NTN-B 2045, con una duration de unos 12 años. Los tipos se desplomarán en los próximos años; aprovecharemos la revalorización y pagaremos la deuda con dinero de sobra."Debate con tu grupo:(a) ¿Cuál es la duration aproximada de cada estrategia? ¿Cuál de ellas está inmunizada frente al pasivo a 5 años?(b) La estrategia del Director A parece la más segura. ¿Qué riesgo silencioso implica, pensando en el valor acumulado dentro de 5 años si el Copom reduce la Selic a la mitad?(c) Si el Director C tiene razón y los tipos bajan 2 p.p., estima mediante la duration la ganancia de su posición. Y si se equivoca y los tipos suben 2 p.p., ¿qué ocurre con la capacidad de pagar la deuda?(d) ¿Por qué se dice que la estrategia B está inmunizada "por construcción"? ¿Qué la hace inmune tanto a las subidas como a las bajadas de los tipos?(e) ¿Existe algún escenario en el que la elección de C sea defendible para una tesorería? ¿Qué diferencia la gestión del riesgo de una apuesta?Orientación para el profesor: (a) A: duración ≈ cero (título posfijado diario, sin sensibilidad relevante al precio); B: duración = 5 (cupón cero) = horizonte → inmunizada; C: duración ≈ 12, descalzada en +7 años. (b) Riesgo de reinversión: la LFT no fija ninguna tasa; si la Selic cae a la mitad, el monto acumulado en 5 años puede quedar por debajo de lo previsto; la seguridad del precio no garantiza el cumplimiento del objetivo. (c) Ganancia ≈ +2 × 12 = +24% (algo menos con el ajuste fino, algo más gracias a la convexidad favorable); en el escenario contrario, ≈ −24%: la empresa puede llegar al año 5 sin los R$ 10 millones — riesgo de solvencia, no de volatilidad. (d) El bono cupón cero a 5 años entrega exactamente R$ X el día exacto del pasivo: no hay reinversión ni venta anticipada; los dos canales de riesgo desaparecen a la vez. (e) Solo si la empresa separa conscientemente un capital de riesgo para la apuesta, con límites y stop; y, en ese caso, ya no se trata del ahorro destinado al pasivo. Cierre: la tesorería hace coincidir la duración con el pasivo (cobertura); quien las descalza está haciendo gestión activa con el dinero de otros: la frontera ética y técnica que separa ambas cosas es el alcance del mandato.Ejercicios1) (Inédita - estilo CESGRANRIO) Una LTN (título cupón cero) con vencimiento en 3 años presenta una duración de Macaulay de:A) 3 años.B) menos de 3 años, debido al descuento de los flujos.C) más de 3 años, debido a la capitalización compuesta.D) 1,5 años, la mitad del plazo.E) imposible de determinar sin la tasa de mercado.2) (Inédita - estilo CESGRANRIO) Un bono presenta una duración de Macaulay de 5 años y se negocia a una tasa del 10% anual. Su duración modificada es aproximadamente:A) 4,55.B) 5,00.C) 5,50.D) 4,00.E) 0,50.3) (Inédita - estilo CESGRANRIO) Un bono con una duración modificada de 6 sufre un aumento de 0,5 puntos porcentuales en la tasa de interés de mercado. La variación aproximada de su precio, estimada mediante la duración, es:A) −3,0%.B) −6,0%.C) +3,0%.D) −0,5%.E) −12,0%.4) (Inédita - estilo FGV) Un bono paga un cupón anual de R$ 100,00 y devuelve R$ 1.100,00 (principal más el último cupón) al final de 2 años. A una tasa de mercado del 10% anual, su precio es de R$ 1.000,00, con valores presentes de los flujos de R$ 90,91 (año 1) y R$ 909,09 (año 2). La duración de Macaulay de este bono es aproximadamente:A) 1,91 años.B) 2,00 años.C) 1,50 años.D) 1,10 años.E) 2,10 años.5) (Inédita - estilo FGV) Manteniendo constantes los demás factores, la duración de Macaulay de un bono de renta fija:A) disminuye cuando aumenta la tasa de cupón.B) aumenta cuando aumenta la tasa de cupón.C) es independiente de la tasa de cupón.D) disminuye cuando aumenta el plazo de vencimiento.E) es siempre igual al plazo de vencimiento.6) (Inédita - estilo CESGRANRIO) Un fondo de pensiones debe hacer frente a un flujo concentrado de prestaciones dentro de 8 años y desea inmunizar su cartera de renta fija frente a las oscilaciones de las tasas de interés. Para ello, debe estructurar la cartera de modo que:A) su duración sea de aproximadamente 8 años, igual al horizonte del pasivo.B) su duración sea lo más baja posible, concentrándose en LFT.C) su duración sea lo más alta posible, maximizando la convexidad.D) todos los bonos venzan en un plazo máximo de 1 año y se renueven las posiciones.E) la cartera contenga únicamente bonos a tipo fijo con vencimiento superior a 20 años.7) (Inédita - estilo CEBRASPE, juzgue el enunciado) Juzgue el enunciado: "Debido a la convexidad de la relación entre el precio y la tasa, la pérdida efectiva de un bono a tipo fijo ante una fuerte subida de los tipos de interés tiende a ser mayor que la pérdida estimada mediante la duración modificada."( ) Correcto ( ) Incorrecto8) (Inédita - estilo CEBRASPE, juzgue el enunciado) Juzgue el enunciado: "La duración de una cartera de renta fija puede obtenerse mediante la media de las duraciones de los bonos que la componen, ponderada por la participación de cada bono en el valor de la cartera."( ) Correcto ( ) IncorrectoSolucionario1) A — Cupón cero: un único flujo al vencimiento, por lo que el plazo medio ponderado es el propio plazo. Duración = 3 años, independientemente de la tasa.2) A — Dmod = D/(1+i) = 5/1,10 = 4,545. Olvidar la división por (1+i) lleva a la opción B: el error clásico.3) A — ΔP% ≈ −Dmod × Δi = −6 × 0,5 = −3,0%. Signo negativo: la tasa subió y el precio cayó (el balancín de la Clase 4, ahora cuantificado).4) A — Pesos: 90,91/1.000 = 9,09% en el año 1 y 909,09/1.000 = 90,91% en el año 2. D = 1 × 0,0909 + 2 × 0,9091 = 1,909 años. Menor que el plazo de 2 años, como ocurre con todo bono con cupón.5) A — Los cupones más altos devuelven más dinero antes y acercan el centro de gravedad: la duración disminuye. Un plazo mayor aumenta la duración (la opción D invierte la relación), y la igualdad duración = plazo solo se cumple en los bonos cupón cero (opción E).6) A — Inmunización = hacer coincidir la duración de la cartera con el horizonte del pasivo (8 años): el riesgo de precio y el riesgo de reinversión pasan a compensarse. Minimizar la duración (opción B) protege el precio, pero deja totalmente expuesto el riesgo de reinversión.7) Incorrecto — Es al contrario: la convexidad hace que el precio real caiga MENOS de lo que prevé la línea recta de la duración cuando suben los tipos (y que suba más cuando bajan). La curvatura favorece al inversor.8) Correcto — La duración de una cartera es la media ponderada (por el valor de mercado de las posiciones) de las duraciones individuales; así es exactamente como las mesas resumen el riesgo de tipos de interés de una cartera entera en un único número.
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