IntroduçãoPara quaisquer dois conjuntos de dados pareados, há duas formas de descrever a interação entre eles.A primeira é medir o quanto as variáveis estão associadas. Para isso usamos a correlação, já estudada: o tamanho do coeficiente de correlação indica a força da associação.A segunda é descrever a relação entre as duas variáveis por meio de uma equação, que permite dizer quanto uma variável muda, em média, quando a outra aumenta ou diminui. É disso que trata a regressão.Relação funcional e relação estatísticaComo sabemos, o perímetro e o lado de um quadrado estão relacionados. A relação que os liga é perfeitamente definida e pode ser expressa por uma sentença matemática:\[ 2p = 4l \]Onde 2p é o perímetro e l é o lado.Atribuindo-se um valor qualquer a l, é possível determinar exatamente o valor de 2p.Consideremos agora a relação entre o peso e a estatura de um grupo de pessoas. Essa relação não é do mesmo tipo da anterior: ela é bem menos precisa. Pode acontecer que a estaturas diferentes correspondam pesos iguais, ou que a estaturas iguais correspondam pesos diferentes. Mesmo assim, em média, quanto maior a estatura, maior o peso.Relações do tipo perímetro–lado são chamadas de relações funcionais, e as do tipo peso–estatura, de relações estatísticas. Uma relação estatística pode ser resumida por uma função que descreve o comportamento médio; quando essa função é uma reta e há uma só variável explicativa, temos a regressão linear simples.Objetivos da regressão linear simplesPrever valores de uma variável dependente (Y) a partir de uma variável independente (X).Saber o quanto variações de X afetam, em média, o valor de Y.Regressão linear simplesA regressão linear simples é usada para examinar a relação entre uma variável dependente e uma variável independente. Depois de feita a análise, a equação de regressão pode ser usada para prever a variável dependente quando a independente é conhecida. A regressão vai além da correlação ao acrescentar essa capacidade de previsão.As pessoas usam a ideia de regressão intuitivamente todos os dias: quem vai ao mercado sabe que, quanto mais itens no carrinho, maior tende a ser a conta; quem dirige sabe que, quanto mais longa a viagem, mais combustível vai gastar. A facilidade de acordar de manhã muitas vezes depende de quão tarde você foi para a cama na noite anterior. A regressão quantitativa acrescenta precisão a essas intuições, construindo uma fórmula matemática que pode ser usada para fazer previsões.Por exemplo, um pesquisador da área médica pode querer usar o peso corporal (variável independente) para prever a dose mais adequada de um novo medicamento (variável dependente). O objetivo da regressão é encontrar a fórmula que melhor descreve a relação entre as duas variáveis. Depois, essa fórmula serve para prever a variável dependente quando só a independente é conhecida: um médico poderia prescrever a dose adequada com base no peso da pessoa.A reta de regressão (também chamada de reta de mínimos quadrados) mostra o valor esperado da variável dependente para cada valor da variável independente. Tecnicamente, é a reta que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos (as distâncias verticais entre os pontos e a reta). É a reta que melhor se ajusta aos dados de um diagrama de dispersão.Na equação de regressão, a inclinação da reta (a) é a variação de y dividida pela variação de x: quanto y sobe (ou desce) quando x aumenta uma unidade. O intercepto (b) é o ponto em que a reta corta o eixo y, ou seja, o valor previsto de y quando x = 0. A inclinação é chamada de coeficiente angular e o intercepto, de coeficiente linear (ou constante). Como o modelo de regressão quase nunca é um preditor perfeito, a equação tem também um termo de erro.Na equação de regressão, y é sempre a variável dependente e x é sempre a independente. Eis três maneiras equivalentes de escrever um modelo de regressão linear simples:\[ y = (\text{inclinação} · x) + \text{intercepto} + \text{erro} \]\[ y = (\text{coeficiente angular} · x) + \text{coeficiente linear} + \text{erro} \]\[ y = a · x + b + e \]A regressão linear simples escolhe a e b de forma a tornar a soma dos erros ao quadrado, \( \sum{e^2} \), a menor possível. Uma consequência desse método é que a média dos erros da reta ajustada é zero.Na reta de regressão y = 3 · x + 10, o que significa o número 3?Gabarito: Quanto y aumenta, em média, quando x aumenta uma unidade — 3 é o coeficiente angular (inclinação). O valor de y quando x = 0 é o intercepto, 10.Cálculo dos coeficientes a e bCalculamos primeiro o coeficiente angular a. Assim como a correlação, ele é obtido a partir da covariância:\[ a = \frac{\sigma_{x,y}}{\sigma_{x}^2} \]O coeficiente angular é a covariância dividida pela variância da variável independente. Repare que, ao contrário do coeficiente de correlação, que divide a covariância pelos desvios padrão das duas variáveis, aqui só a variável independente aparece no denominador. Por isso a ainda carrega as unidades dos dados (unidades de y por unidade de x), enquanto r é adimensional.Conhecendo a, calculamos b, tirando a média dos dois lados da equação:\[ y = a · x + b + e \]\[ E[y] = E[a · x + b + e] \]\[ E[y] = E[a · x] + E[b] + E[e] \]\[ \bar{y} = a · \bar{x} + b + 0 \]\[ b = \bar{y} - a · \bar{x} \]Ou seja, a reta de regressão sempre passa pelo ponto das médias \( (\bar{x}, \bar{y}) \).Alguns livros apresentam as fórmulas diretas, em termos das somas:\[ a = \frac{N · (\sum{X · Y}) - (\sum{X}) · (\sum{Y})}{N · (\sum{X^{2}}) - (\sum{X})^{2}} \]\[ b = \frac{(\sum{Y}) - a · (\sum{X})}{N} \]Com os coeficientes angular e linear, formamos a reta que melhor descreve a relação entre as duas variáveis:Ela é a melhor no sentido dos mínimos quadrados: nenhuma outra reta produz uma soma menor dos quadrados das distâncias verticais entre os pontos e a reta.Num estudo, a covariância entre X e Y é 12, a variância de X é 4, a média de X é 5 e a média de Y é 20. Qual é a reta de regressão?Gabarito: y = 3 · x + 5 — a = 12 / 4 = 3 e b = 20 − 3 · 5 = 5. A opção y = 3 · x + 20 usa a média de Y como intercepto, esquecendo de subtrair a · x̄; a opção 0,33 inverte a divisão.Por que dividir a covariância pela variância de X?Queremos que a represente "quanto Y muda, em média, quando X aumenta uma unidade".A covariância sozinha não dá isso, porque ela mistura as escalas das duas variáveis: sua unidade é a unidade de X vezes a unidade de Y. Se medirmos X em centímetros em vez de metros, a covariância fica 100 vezes maior, embora a relação seja exatamente a mesma.Solução: dividir a covariância pela variância de X, cuja unidade é a unidade de X ao quadrado. O resultado fica na unidade de Y por unidade de X — exatamente o que uma inclinação deve ser. Se X passar a ser medido em centímetros, a inclinação fica 100 vezes menor, como deve: um centímetro a mais muda Y bem menos que um metro a mais.Pense assim:Covariância = "quanto X e Y variam juntos?"Variância de X = "quanto X varia sozinho?"Ao dividir uma pela outra, calculamos:\[ a = \frac{\text{quanto } X \text{ e } Y \text{ variam juntos}}{\text{quanto } X \text{ varia sozinho}} \]Isso responde à pergunta: "para cada unidade que X varia, quanto Y varia, em média?" A medida padronizada, sem unidade, da relação entre X e Y é a correlação r; as duas estão ligadas por \( a = r · \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \).Correlação × regressão linearExistem diferenças reais entre correlação e regressão linear, mas na regressão linear simples elas se complementam. O quadrado do coeficiente de correlação (r²) é igual ao coeficiente de determinação da regressão, e em muitos estudos esse é o resultado mais importante.A principal diferença é de papel: a correlação trata as duas variáveis da mesma forma (rXY = rYX) e apenas mede a associação, enquanto a regressão escolhe uma variável para explicar a outra — a regressão de Y em X é diferente da regressão de X em Y. Escolher qual variável é a dependente é uma decisão do pesquisador; a regressão, sozinha, não prova que X causa Y.Muita gente faz a regressão depois de analisar a correlação, quando já se viu, até no diagrama de dispersão, que existe uma relação linear. Vale a pena calcular as duas, porque respondem a perguntas diferentes: r² diz que fração da variação de Y é explicada pela reta (com r = 0,29, por exemplo, r² = 0,084, ou seja, só 8,4% da variação é explicada); a regressão diz quanto Y muda quando X aumenta uma unidade — uma relação que pode ser pouco confiável quando r² é baixo, já que boa parte da variação fica sem explicação.A correlação entre horas de estudo e nota é r = 0,6. Que fração da variação das notas a reta de regressão explica?Gabarito: 36% — a fração explicada é o coeficiente de determinação, r² = 0,6² = 0,36. A opção 60% confunde r com r²; a de 40% é 1 − r, que não tem significado aqui.Os dados sempre formam uma reta?Não. Uma ótima forma de verificar se a reta é um bom ajuste para os dados é o coeficiente de determinação, r². Na regressão linear simples, ele é o quadrado da correlação, e por isso verificar o ajuste da regressão é muito parecido com verificar a correlação entre os dados. Também vale sempre olhar o diagrama de dispersão: um r² baixo pode esconder uma relação forte, mas curva.Embora, na regressão linear simples, r² seja igual ao quadrado do coeficiente de correlação, a definição do coeficiente de determinação é outra: é a fração da variação total de y explicada pela reta, ou seja, um menos a variação que sobra em torno da reta dividida pela variação total:\[ r^2 = \frac{\text{variação explicada pela reta}}{\text{variação total}} = 1 - \frac{\sum{(y - \hat{y})^2}}{\sum{(y - \bar{y})^2}} \]onde \( \hat{y} \) é o valor previsto pela reta. Um r² de 1 indica que todos os pontos estão sobre a reta; um r² de 0, que a reta não explica nada além da média.É também por isso que a regressão linear é conhecida como regressão de mínimos quadrados: ela torna a soma dos quadrados dos erros, \( \sum{(y - \hat{y})^2} \), a menor possível, o que deixa r² o maior possível entre todas as retas.Exercícios1) Qual é a diferença entre correlação e regressão linear?2) Faça o gráfico de dispersão e a reta que melhor se ajusta aos dados abaixo:Mês (X)Demanda (Y)124002210032550427005275062800730003) No exercício anterior, a covariância dos dois conjuntos de dados vale 485,71 e a variância da variável independente (mês) vale 4 (ambas com divisor n). Quais são os coeficientes angular e linear da reta de regressão?4) Uma loja anotou quantas sungas vendeu em 4 dias do ano. Calcule a equação da reta que melhor se ajusta aos seguintes pontos:Temperatura (X)Sungas vendidas (Y)20102525303035405) No exercício anterior, quantas sungas a loja deve vender, em média, num dia de 40 graus?6) Diz-se que, quanto mais se estuda, maior a nota. Um aluno, duvidando disso, anotou o tempo de estudo e a nota de cada colega da turma. A média do tempo de estudo foi de 4 horas e a nota média foi 7. A covariância dos dois conjuntos de dados foi 8 e a variância do tempo de estudo foi 5. Pela regressão linear, qual é a reta que melhor explica a relação entre o tempo de estudo e a nota?7) No exercício anterior, Zezinho tirou nota 5,4. Quanto tempo ele estudou, segundo a reta? Se ele precisava de nota 8,6 para passar, quanto precisaria ter estudado, segundo a reta?Gabarito1) A correlação mede a força e o sentido da associação linear e trata as duas variáveis igualmente; a regressão escolhe uma variável dependente e dá a equação para prevê-la a partir da independente.2) e 3) a = 485,71 / 4 = 121,43 e b = 2614,29 − 121,43 · 4 = 2128,57, ou seja, Y = 2128,57 + 121,43 · X (r² ≈ 0,79).4) Y = 1,9 · X − 265) 1,9 · 40 − 26 = 50 sungas6) a = 8 / 5 = 1,6 e b = 7 − 1,6 · 4 = 0,6, ou seja, Y = 1,6 · X + 0,67) 5,4 = 1,6 · X + 0,6 dá X = 3 horas; 8,6 = 1,6 · X + 0,6 dá X = 5 horas. (Usar a reta de Y em X "ao contrário" é uma aproximação: para prever horas a partir da nota, o correto seria ajustar a regressão de X em Y.)Referências bibliográficashttp://www.biostathandbook.com/linearregression.htmlhttps://www.statpac.com/statistics-calculator/correlation-regression.htmhttp://www.kean.edu/~fosborne/bstat/09rc.htmlhttps://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/1479289/mod_resource/content/0/regr_lin.pdf
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