Normal, Binomial und Poisson, und was es kostet, eine gegen die andere zu tauschen
Eine Normalverteilung
Eine Anzahl aus einer festen Zahl von Versuchen
Die Ränder werden hier direkt aus der komplementären Fehlerfunktion berechnet und nicht als eins minus das andere; genau das bewahrt vier oder fünf Abweichungen davor, zu einer gerundeten Null zusammenzufallen.
Ergebnisse
| Wie viele Abweichungen vom Mittelwert das ist | — |
| Wahrscheinlichkeit, darunter zu landen | — |
| Wahrscheinlichkeit, darüber zu landen | — |
Die Anzahl, exakt und genähert
| Exakte Wahrscheinlichkeit für diese Anzahl oder weniger | — |
| Exakte Wahrscheinlichkeit für genau diese Anzahl | — |
| Normalkurve, ohne Stetigkeitskorrektur | — |
| Wie weit das danebenliegt, in Prozent | — |
| Normalkurve, mit der Korrektur | — |
| Wie weit das danebenliegt, in Prozent | — |
| Poisson, mit demselben Mittelwert | — |
| Wie weit das danebenliegt, in Prozent | — |
Die Regel, die alle lernen, lautet: eine Normalkurve ersetzt eine Anzahl, sobald die mittlere Anzahl fünf erreicht. Genau an dieser Grenze, bei zwanzig Versuchen mit fünfundzwanzig von hundert, ist die exakte Antwort 0,091260 und die unkorrigierte Kurve sagt 0,060668. Sie irrt um ein Drittel an genau dem Punkt, an dem sie für sicher erklärt wurde.
Die Stetigkeitskorrektur ist keine Feinheit, sie ist der größte Teil der Genauigkeit. Eine halbe Einheit vor dem Ablesen der Kurve zu addieren macht aus einem Fehler von minus dreiunddreißig Prozent plus sieben Komma acht, bei denselben Zahlen und ohne zusätzliche Information. Wer die Näherung ohne sie benutzt, entscheidet sich dafür, mehr danebenzuliegen, als die Näherung selbst kostet.
Wo die Näherung ehrlich wird
| Zahl der Versuche | Mittlere Anzahl | Exakt | Fehler der korrigierten Kurve, in Prozent |
|---|
Jede Zeile stellt dieselbe Frage drei Zählungen unter dem Mittelwert, damit der Vergleich fair bleibt, während die Zahl der Versuche wächst. Der Fehler fällt von etwa acht Prozent auf etwa ein halbes, und das ist die wirkliche Form der Regel: keine Schwelle, die überschritten wird, sondern ein Hang, den man hinuntergeht.
Die dritte Zeile der Ergebnisse ist eine andere Näherung mit einer anderen Schwäche. Poisson ersetzt eine Anzahl, wenn die Chance jedes Versuchs klein ist, nicht wenn die Zahl der Versuche groß ist: bei fünfundzwanzig von hundert liegt sie um sechsunddreißig Prozent daneben, bei eins von hundert über tausend Versuche um ein Drittel von einem.
Es gibt also keine Näherung, die einfach besser wäre. Die eine braucht viele Versuche, die andere eine kleine Chance, und die exakte Antwort braucht keines von beidem — deshalb rechnet diese Seite sie aus, statt zu einer Kurve zu greifen.
Wann darf ich eine Normalkurve statt exakter Zählung nehmen?
Die Regel, die alle lernen, verlangt eine mittlere Anzahl von fünf. Genau an dieser Grenze irrt die unkorrigierte Kurve um ein Drittel, was für eine Schwelle merkwürdig ist.
Die Tabelle zeigt, was tatsächlich geschieht, wenn die Zahl der Versuche wächst. Der Fehler fällt allmählich, statt an einer Linie abzuschalten; die ehrliche Lesart ist ein Hang und keine Schwelle.
| Zahl der Versuche | Mittlere Anzahl | Fehler der korrigierten Kurve, in Prozent |
|---|---|---|
| 20 | 5,0 | +7,77 |
| 50 | 12,5 | -2,05 |
| 100 | 25,0 | -1,58 |
| 200 | 50,0 | -1,23 |
| 500 | 125,0 | -0,78 |
| 1000 | 250,0 | -0,54 |
Was ist die Stetigkeitskorrektur, und zählt sie?
Es heißt, eine halbe Einheit zu addieren, bevor man die Kurve abliest, weil eine Anzahl auf ganzen Zahlen landet und eine Kurve nicht. Es kostet nichts und ist der größte Teil der Genauigkeit.
Mit den Zahlen, von denen diese Seite ausgeht, macht sie aus einem Fehler von minus dreiunddreißig Prozent plus sieben Komma acht. Die Näherung ohne sie zu benutzen heißt, mehr danebenliegen zu wollen, als die Näherung selbst kostet.
Wann ist stattdessen Poisson die richtige Näherung?
Wenn die Chance jedes Versuchs klein ist, was etwas anderes ist als viele Versuche zu haben. Bei fünfundzwanzig von hundert liegt sie um sechsunddreißig Prozent daneben, gleich wie viele Versuche es gibt.
Nehmen Sie dieselben tausend Versuche bei eins von hundert, und der Fehler fällt auf ein Drittel von einem Prozent. Die beiden Näherungen versagen in verschiedene Richtungen, deshalb ist keine einfach besser.
Warum überhaupt die exakte Antwort berechnen?
Weil sie inzwischen billig ist. Die Näherungen gibt es, weil das Aufsummieren der Terme von Hand der teure Teil war, und das stimmt schon lange nicht mehr.
Diese Seite summiert sie in Logarithmen, Term für Term, damit tausend Versuche nie eine Zahl verlangen, die zu groß zum Halten ist. Die Näherungen bleiben auf dem Bildschirm, um zu zeigen, was sie kosten, nicht weil sie gebraucht würden.
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