Einfache lineare Regression

Ihre Daten

Trennen Sie die beiden Zahlen mit Leerzeichen, Komma, Semikolon oder Tabulator, je nachdem, was Ihre Tabellenkalkulation einfügt. Zeilen ohne Sinn werden übersprungen.

Ergebnisse

Die Gerade, die zu diesen Punkten passt

—

Um wie viel sich y bewegt, wenn x um eins steigt—
Wo die Gerade die senkrechte Achse schneidet—
Der Anteil der Bewegung von y, den die Gerade erklärt—
Die Korrelation zwischen beiden—
Verwendete Punkte—

Laden Sie die vier Datensätze im Feld links nacheinander und schauen Sie auf die Zahlen statt auf das Bild. Jeder liefert dieselben Mittelwerte, dieselbe Streuung, dieselbe Korrelation und dieselbe Gerade, von oben bis unten auf zwei Nachkommastellen genau.

Nun sehen Sie sich das Bild an. Das erste ist eine gewöhnliche Wolke um eine Gerade. Das zweite ist eine saubere Kurve, die keine Gerade beschreiben darf. Das dritte ist eine perfekte Gerade mit einem weit weggerissenen Punkt. Das vierte hat alle x an derselben Stelle bis auf einen, und dieser eine Punkt entscheidet die ganze Steigung allein.

Francis Anscombe hat diese vier neunzehnhundertdreiundsiebzig genau dafür gebaut, und es ist nicht gealtert: Eine Zusammenfassung ist eine Zusammenfassung, und der einzige Weg zu wissen, ob eine Gerade zu einer Punktmenge gehört, ist, sie anzusehen.

Noch etwas, das die Zahlen nicht sagen: Eine Gerade durch die Punkte sagt nichts darüber, ob das eine das andere verursacht. Sie sagt, dass sich beide in dieser Stichprobe zusammen bewegt haben, und das ist eine viel kleinere Behauptung.

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Wie wird die Gerade berechnet?

Mit der Methode der kleinsten Quadrate: Die Gerade ist die, welche die Summe der quadrierten senkrechten Abstände zwischen Punkten und Gerade so klein wie möglich macht. Die Steigung ist die gemeinsame Streuung von x und y geteilt durch die Streuung von x, und die Gerade geht immer durch den Mittelwert beider.

Das liefert für jede Punktmenge genau eine Antwort, was bequem ist und zugleich die Falle: Es liefert eine, ob eine Gerade dort Sinn ergibt oder nicht.

Was sagt das Bestimmtheitsmaß eigentlich aus?

Es ist der Anteil des Auf und Ab von y, den die Gerade erklärt. Zwei Drittel heißt, die Gerade erklärt zwei Drittel der Schwankung und etwas anderes den Rest.

Es sagt nichts darüber, ob die Form stimmt. Alle vier Datensätze, die man im Feld links lädt, landen bei denselben zwei Dritteln, und nur einer davon ist eine Punktmenge, zu der eine Gerade gehört.

Warum sind die vier Beispieldatensätze wichtig?

Weil sie dieselben Mittelwerte, dieselbe Streuung, dieselbe Korrelation und dieselbe Gerade haben, auf zwei Nachkommastellen genau, und einander überhaupt nicht ähneln. Einer ist eine gewöhnliche Wolke, einer eine saubere Kurve, einer eine perfekte Gerade mit einem einzigen weggerissenen Punkt, und einer eine Spalte identischer x-Werte plus ein einsamer Punkt, der die Steigung allein entscheidet.

Francis Anscombe hat sie neunzehnhundertdreiundsiebzig gebaut, um zu zeigen, dass zusammengefasste Zahlen übereinstimmen können, während die Daten völlig auseinandergehen. Laden Sie sie nacheinander und sehen Sie das Bild sich ändern, während die Tabelle es nicht tut.

Bedeutet eine gute Anpassung, dass das eine das andere verursacht?

Nein. Eine Gerade durch die Punkte sagt, dass sich beide in dieser Stichprobe zusammen bewegt haben, und das ist eine viel kleinere Behauptung als eine Ursache.

Etwas Drittes kann beide bewegen, die Richtung kann umgekehrt sein, und bei wenigen Punkten kann es Zufall sein. Die Rechnung auf dieser Seite kann das nicht unterscheiden, und keine andere kann es.