الطبيعي وذو الحدّين وبواسون، وثمنُ استبدال أحدها بالآخر

توزيع طبيعي

عددٌ من بين محاولات ثابتة

تُحسب الأذناب هنا مباشرةً من دالة الخطأ المتمّمة لا بطرح إحداهما من واحد، وهذا ما يمنع أربعة أو خمسة انحرافات من الانهيار إلى صفرٍ مقرَّب.

نتائج

كم انحرافًا عن المتوسط يبعد ذلك—
احتمال الوقوع تحتها—
احتمال الوقوع فوقها—

العدد، بالدقة وبالتقريب

الاحتمال الدقيق لذلك العدد أو أقل—
الاحتمال الدقيق لذلك العدد بالضبط—
منحنى طبيعي، دون تصحيح الاتصال—
بكم يخطئ ذلك، بالنسبة المئوية—
منحنى طبيعي، مع التصحيح—
بكم يخطئ ذلك، بالنسبة المئوية—
بواسون، بمتوسط مضبوط على القيمة نفسها—
بكم يخطئ ذلك، بالنسبة المئوية—

القاعدة التي يتعلّمها الجميع أن المنحنى الطبيعي ينوب عن العدّ متى بلغ متوسط العدد خمسة. وعند هذا الحدّ بالضبط، بعشرين محاولة باحتمال خمسة وعشرين من مئة، يكون الجواب الدقيق 0.091260 ويقول المنحنى غير المصحَّح 0.060668. إنه يخطئ بمقدار الثلث عند النقطة نفسها التي أُعلن عندها آمنًا.

تصحيح الاتصال ليس تحسينًا تجميليًّا، بل هو معظم الدقة. فإضافة نصف وحدة قبل قراءة المنحنى تحوّل خطأً مقداره سالب ثلاثة وثلاثين بالمئة إلى موجب سبعة وثمانية من عشرة، على الأرقام نفسها وبلا معلومة إضافية. ومن يستعمل التقريب دونه إنما يختار أن يخطئ أكثر ممّا يكلّفه التقريب ذاته.

أين يصير التقريب صادقًا

عدد المحاولاتمتوسط العدددقيقخطأ المنحنى المصحَّح، بالنسبة المئوية

يطرح كل صفٍ السؤال نفسه عند ثلاثة أعداد دون المتوسط، فتبقى المقارنة منصفة مع تزايد عدد المحاولات. ويهبط الخطأ من نحو ثمانية بالمئة إلى نحو نصف بالمئة، وهذه هي الصورة الحقيقية للقاعدة: ليست عتبةً تُعبر، بل منحدرٌ يُنزَل.

الصف الثالث من النتائج تقريبٌ آخر بضعفٍ آخر. فبواسون ينوب عن العدّ حين يكون احتمال كل محاولة صغيرًا، لا حين يكون عدد المحاولات كبيرًا: فعند خمسة وعشرين من مئة يخطئ بستة وثلاثين بالمئة، وعند واحد من مئة على ألف محاولة يخطئ بثلث الواحد.

إذن لا وجود لتقريبٍ أفضل ببساطة. فأحدهما يحتاج محاولات كثيرة والآخر يحتاج احتمالًا صغيرًا، أما الجواب الدقيق فلا يحتاج أيًّا منهما، ولهذا تحسبه هذه الصفحة بدل أن تمدّ يدها إلى منحنى.

ردود الفعل

0

0 تعليقات

User profile image

كن أول من يعلق

متى أستطيع استعمال المنحنى الطبيعي بدل العدّ الدقيق؟

القاعدة التي يتعلّمها الجميع تشترط أن يبلغ متوسط العدد خمسة. وعند ذلك الحدّ بالضبط يخطئ المنحنى غير المصحَّح بمقدار الثلث، وهو أمرٌ غريبٌ أن تسمح به عتبة.

يُظهر الجدول ما يحدث فعلًا مع تزايد عدد المحاولات. فالخطأ يهبط تدريجيًّا لا ينطفئ عند خط، ومن ثمّ فالقراءة الصادقة منحدرٌ لا عتبة.

عدد المحاولاتمتوسط العددخطأ المنحنى المصحَّح، بالنسبة المئوية
205,0+7,77
5012,5-2,05
10025,0-1,58
20050,0-1,23
500125,0-0,78
1000250,0-0,54
ما تصحيح الاتصال، وهل يهمّ؟

هو إضافة نصف وحدة قبل قراءة المنحنى، لأن العدد يقع على الأعداد الصحيحة والمنحنى لا. لا يكلّف شيئًا وهو معظم الدقة.

على الأرقام التي تنطلق منها هذه الصفحة، يحوّل خطأً مقداره سالب ثلاثة وثلاثين بالمئة إلى موجب سبعة وثمانية من عشرة. واستعمالُ التقريب دونه اختيارٌ للخطأ بأكثر ممّا يكلّفه التقريب نفسه.

متى يكون بواسون هو التقريب الصحيح بدلًا منه؟

حين يكون احتمال كل محاولة صغيرًا، وهو شرط يختلف عن كثرة المحاولات. فعند خمسة وعشرين من مئة يخطئ بستة وثلاثين بالمئة مهما بلغ عدد المحاولات.

خذ الألف محاولة نفسها باحتمال واحد من مئة يهبط الخطأ إلى ثلث الواحد بالمئة. فالتقريبان يخفقان في اتجاهين مختلفين، ولهذا ليس أيٌّ منهما أفضل ببساطة.

ولماذا يُحسب الجواب الدقيق أصلًا؟

لأنه صار رخيصًا. فالتقريبات وُجدت لأن جمع الحدود يدويًّا كان الجزء المكلف، وهذا لم يعد صحيحًا منذ زمن طويل.

تجمعها هذه الصفحة باللوغاريتمات، حدًّا بعد حدّ، حتى لا تحتاج ألفُ محاولة يومًا عددًا أكبر من أن يُحتوى. أما التقريبات فتبقى على الشاشة لتُظهر ما تكلّفه، لا لأنها لازمة.