Normale, binomiale et Poisson, et le prix d'échanger l'une contre l'autre
Une loi normale
Un comptage sur un nombre fixe d'essais
Les queues sont ici calculées directement à partir de la fonction d'erreur complémentaire, et non comme un moins l'autre, ce qui empêche quatre ou cinq écarts types de s'effondrer en un zéro arrondi.
Résultats
| À combien d'écarts types de la moyenne cela se trouve | — |
| Probabilité de tomber en dessous | — |
| Probabilité de tomber au-dessus | — |
Le comptage, exact et approché
| Probabilité exacte de ce comptage ou moins | — |
| Probabilité exacte d'exactement ce comptage | — |
| Courbe normale, sans correction de continuité | — |
| De combien cela se trompe, en pourcentage | — |
| Courbe normale, avec la correction | — |
| De combien cela se trompe, en pourcentage | — |
| Poisson, avec sa moyenne fixée à la même valeur | — |
| De combien cela se trompe, en pourcentage | — |
La règle qu'on apprend partout est qu'une courbe normale remplace un comptage dès que le comptage moyen atteint cinq. Exactement à cette limite, avec vingt essais à vingt-cinq sur cent, la réponse exacte est 0,091260 et la courbe non corrigée annonce 0,060668. Elle se trompe d'un tiers au point même où on l'a déclarée sûre.
La correction de continuité n'est pas un raffinement, c'est l'essentiel de la précision. Ajouter une demi-unité avant de lire la courbe transforme une erreur de moins trente-trois pour cent en plus sept virgule huit, sur les mêmes nombres, sans information supplémentaire. Employer l'approximation sans elle, c'est choisir de se tromper plus que l'approximation elle-même ne coûte.
Où l'approximation devient honnête
| Nombre d'essais | Comptage moyen | Exacte | Erreur de la courbe corrigée, en pourcentage |
|---|
Chaque ligne pose la même question trois comptages sous la moyenne, si bien que la comparaison reste juste quand le nombre d'essais grandit. L'erreur passe d'environ huit pour cent à environ un demi, ce qui est la vraie forme de la règle : non un seuil que l'on franchit, mais une pente que l'on descend.
La troisième ligne des résultats est une autre approximation, avec une autre faiblesse. Poisson remplace un comptage quand la chance de chaque essai est petite, non quand le nombre d'essais est grand : à vingt-cinq sur cent il se trompe de trente-six pour cent, et à un sur cent sur mille essais il se trompe d'un tiers de un.
Autrement dit, il n'existe pas d'approximation simplement meilleure. L'une exige beaucoup d'essais et l'autre une petite chance, et la réponse exacte n'exige ni l'un ni l'autre : c'est pourquoi cette page la calcule au lieu de se rabattre sur une courbe.
Quand puis-je utiliser une courbe normale au lieu de compter exactement ?
La règle qu'on apprend est que le comptage moyen doit atteindre cinq. Exactement à cette limite, la courbe non corrigée se trompe d'un tiers, ce qui est étrange de la part d'un seuil.
Le tableau montre ce qui se passe vraiment quand le nombre d'essais grandit. L'erreur décroît progressivement au lieu de s'éteindre à une ligne : la lecture honnête est une pente, pas un seuil.
| Nombre d'essais | Comptage moyen | Erreur de la courbe corrigée, en pourcentage |
|---|---|---|
| 20 | 5,0 | +7,77 |
| 50 | 12,5 | -2,05 |
| 100 | 25,0 | -1,58 |
| 200 | 50,0 | -1,23 |
| 500 | 125,0 | -0,78 |
| 1000 | 250,0 | -0,54 |
Qu'est-ce que la correction de continuité, et compte-t-elle ?
C'est ajouter une demi-unité avant de lire la courbe, parce qu'un comptage tombe sur des entiers et pas une courbe. Cela ne coûte rien et c'est l'essentiel de la précision.
Sur les nombres dont cette page part, elle transforme une erreur de moins trente-trois pour cent en plus sept virgule huit. Employer l'approximation sans elle, c'est choisir de se tromper plus que l'approximation elle-même ne coûte.
Quand Poisson est-elle la bonne approximation ?
Quand la chance de chaque essai est petite, ce qui est une condition différente d'avoir beaucoup d'essais. À vingt-cinq sur cent, il se trompe de trente-six pour cent quel que soit le nombre d'essais.
Prenez les mêmes mille essais à un sur cent et l'erreur tombe à un tiers de un pour cent. Les deux approximations échouent dans des directions différentes, et c'est pourquoi aucune n'est simplement meilleure.
Pourquoi calculer la réponse exacte, au fond ?
Parce que c'est devenu bon marché. Les approximations existent parce que sommer les termes à la main était la partie coûteuse, et ce n'est plus vrai depuis longtemps.
Cette page les somme en logarithmes, terme par terme, pour que mille essais n'exigent jamais un nombre trop grand pour tenir. Les approximations restent à l'écran pour montrer ce qu'elles coûtent, non parce qu'elles sont nécessaires.
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