Normal, binomial y Poisson, y el precio de cambiar una por otra
Una distribución normal
Un conteo sobre un número fijo de intentos
Las colas aquí se calculan directamente con la función error complementaria, y no como uno menos el otro, que es lo que evita que cuatro o cinco desviaciones se conviertan en un cero redondeado.
Resultados
| A cuántas desviaciones de la media está eso | — |
| Probabilidad de caer por debajo | — |
| Probabilidad de caer por encima | — |
El conteo, exacto y aproximado
| Probabilidad exacta de ese conteo o menos | — |
| Probabilidad exacta de exactamente ese conteo | — |
| Curva normal, sin corrección de continuidad | — |
| Cuánto se aleja eso, en porcentaje | — |
| Curva normal, con la corrección | — |
| Cuánto se aleja eso, en porcentaje | — |
| Poisson, con su media puesta en el mismo valor | — |
| Cuánto se aleja eso, en porcentaje | — |
La regla que todos aprenden es que la curva normal sustituye a un conteo cuando el conteo medio llega a cinco. Justo en ese límite, con veinte intentos al veinticinco de cien, la respuesta exacta es 0,091260 y la curva sin corrección dice 0,060668. Se equivoca en un tercio justo donde fue declarada segura.
La corrección de continuidad no es un refinamiento: es la mayor parte de la precisión. Sumar media unidad antes de leer la curva convierte un error de menos treinta y tres por ciento en más siete coma ocho, con los mismos números y sin información extra. Quien usa la aproximación sin ella elige equivocarse más de lo que la propia aproximación cuesta.
Dónde la aproximación se vuelve honesta
| Número de intentos | Conteo medio | Exacta | Error de la curva corregida, en porcentaje |
|---|
Cada fila hace la misma pregunta tres conteos por debajo de la media, así la comparación es justa a medida que crece el número de intentos. El error cae de cerca del ocho por ciento a cerca de medio, que es la forma real de la regla: no un umbral que se cruza, sino una pendiente que se baja.
La tercera fila de los resultados es otra aproximación, con otra debilidad. Poisson sustituye a un conteo cuando la probabilidad de cada intento es pequeña, no cuando el número de intentos es grande: al veinticinco de cien falla en treinta y seis por ciento, y al uno de cien sobre mil intentos falla en un tercio de uno.
O sea: no existe una aproximación simplemente mejor. Una necesita muchos intentos y la otra necesita una probabilidad pequeña, y la respuesta exacta no necesita ninguna de las dos, que es por lo que esta página la calcula en vez de recurrir a una curva.
¿Cuándo puedo usar la curva normal en vez de contar exactamente?
La regla que todos aprenden es que el conteo medio tiene que llegar a cinco. Justo en ese límite, la curva sin corrección se equivoca en un tercio, algo raro que un umbral permita.
La tabla muestra lo que realmente pasa a medida que crece el número de intentos. El error cae poco a poco en vez de apagarse en una línea, así que la lectura honesta es una pendiente y no un umbral.
| Número de intentos | Conteo medio | Error de la curva corregida, en porcentaje |
|---|---|---|
| 20 | 5,0 | +7,77 |
| 50 | 12,5 | -2,05 |
| 100 | 25,0 | -1,58 |
| 200 | 50,0 | -1,23 |
| 500 | 125,0 | -0,78 |
| 1000 | 250,0 | -0,54 |
¿Qué es la corrección de continuidad, y importa?
Es sumar media unidad antes de leer la curva, porque un conteo cae en números enteros y una curva no. No cuesta nada y es la mayor parte de la precisión.
Con las cifras de las que parte esta página, convierte un error de menos treinta y tres por ciento en más siete coma ocho. Usar la aproximación sin ella es elegir equivocarse más de lo que la propia aproximación cuesta.
¿Cuándo es Poisson la aproximación correcta?
Cuando la probabilidad de cada intento es pequeña, que es una condición distinta de tener muchos intentos. Al veinticinco de cien falla en treinta y seis por ciento, sin importar cuántos intentos haya.
Toma los mismos mil intentos al uno de cien y el error cae a un tercio de uno por ciento. Las dos aproximaciones fallan en direcciones distintas, y por eso ninguna es simplemente mejor.
¿Por qué calcular la respuesta exacta, al fin y al cabo?
Porque ahora es barato. Las aproximaciones existen porque sumar los términos a mano era la parte cara, y eso dejó de ser cierto hace mucho.
Esta página los suma en logaritmos, término a término, para que mil intentos nunca exijan un número demasiado grande para caber. Las aproximaciones quedan en pantalla para mostrar cuánto cuestan, no porque hagan falta.
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